Question

4．如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，以點A為圓心，BC長為半徑畫弧交AB于點D，分別以點A、D為圓心，AB長為半徑畫弧，兩弧交于點E，連接AE，DE，則∠EAD的余弦值是（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{3}}{12}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{6}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 設(shè)BC=x，由含30°角的直角三角形的性質(zhì)得出AC=2BC=2x，求出AB=$\sqrt{3}$BC=$\sqrt{3}$x，根據(jù)題意得出AD=BC=x，AE=DE=AB=$\sqrt{3}$x，作EM⊥AD于M，由等腰三角形的性質(zhì)得出AM=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$x，在Rt△AEM中，由三角函數(shù)的定義即可得出結(jié)果．

解答 解：如圖所示：設(shè)BC=x，
∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，
∴AC=2BC=2x，AB=$\sqrt{3}$BC=$\sqrt{3}$x，
根據(jù)題意得：AD=BC=x，AE=DE=AB=$\sqrt{3}$x，
作EM⊥AD于M，則AM=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$x，
在Rt△AEM中，cos∠EAD=$\frac{AM}{AE}$=$\frac{\frac{1}{2}x}{\sqrt{3}x}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$；
故選：B．

點評 本題考查了解直角三角形、含30°角的直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)；通過作輔助線求出AM是解決問題的關(guān)鍵．