Question

18．如圖，在等腰直角三角形MNC中．CN=MN=$\sqrt{2}$，將△MNC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△ABC，連接AM，BM，BM交AC于點O．
（1）∠NCO的度數(shù)為15°；
（2）求證：△CAM為等邊三角形；
（3）連接AN，求線段AN的長．

Answer 1

分析 （1）由旋轉(zhuǎn)可得∠ACM=60°，再根據(jù)等腰直角三角形MNC中，∠MCN=45°，運用角的和差關(guān)系進行計算即可得到∠NCO的度數(shù)；
（2）根據(jù)有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形進行證明即可；
（3）根據(jù)△MNC是等腰直角三角形，△ACM是等邊三角形，判定△ACN≌△AMN，再根據(jù)Rt△ACD中，AD=$\sqrt{3}$CD=$\sqrt{3}$，等腰Rt△MNC中，DN=$\frac{1}{2}$CM=1，即可得到AN=AD-ND=$\sqrt{3}$-1．

解答 解：（1）由旋轉(zhuǎn)可得∠ACM=60°，
又∵等腰直角三角形MNC中，∠MCN=45°，
∴∠NCO=60°-45°=15°；
故答案為：15°；

（2）∵∠ACM=60°，CM=CA，
∴△CAM為等邊三角形；

（3）連接AN并延長，交CM于D，
∵△MNC是等腰直角三角形，△ACM是等邊三角形，
∴NC=NM=$\sqrt{2}$，CM=2，AC=AM=2，
在△ACN和△AMN中，
$\left\{\begin{array}{l}{NC=NM}\\{AC=AM}\\{AN=AN}\end{array}\right.$，
∴△ACN≌△AMN（SSS），
∴∠CAN=∠MAN，
∴AD⊥CM，CD=$\frac{1}{2}$CM=1，
∴Rt△ACD中，AD=$\sqrt{3}$CD=$\sqrt{3}$，
等腰Rt△MNC中，DN=$\frac{1}{2}$CM=1，
∴AN=AD-ND=$\sqrt{3}$-1．

點評 本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定以及全等三角形的判定與性質(zhì)的運用，解題時注意：有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形．解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造直角三角形．