Question

5．如圖是“趙爽弦圖”，其中△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四個全等的直角三角形，四邊形ABCD和EFGH都是正方形，根據(jù)這個圖形的面積關系，可以證明勾股定理．設AD=c，AE=a，DE=b，取c=10，a-b=2．
（1）正方形EFGH的面積為4，四個直角三角形的面積和為96；
（2）求（a+b）²的值．

Answer 1

分析 （1）由題意可知HE=a-b=2，可求得正方形EFGH的面積，利用四個直角三角形的面積和=正方形ABCD的面積-正方形EFGH的面積，可求得答案；
（2）利用勾股定理可求得a²+b²的值，利用四個直角三角形的面積可求得2ab，則可求得答案．

解答 解：
（1）∵HE=a-b=2，
∴S_{正方形EFGH}=HE²=4，
∵AD=c=10，
∴S_{正方形ABCD}=AD²=100，
∴四個直角三角形的面積和=S_{正方形ABCD}-S_{正方形EFGH}=100-4=96，
故答案為：4；96；

（2）由（1）可知四個直角三角形的面積和為96，
∴4×$\frac{1}{2}$ab=96，解得2ab=96，
∵a²+b²=c²=100，
∴（a+b）²=a²+b²+2ab=100+96=196．

點評 本題主要考查勾股定理的證明及應用，理解圖形中四個三角形的面積和等于大正方形的面積與小正方形面積的差是解題的關鍵．