Question

10．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB為直徑的圓交AC于點(diǎn)D，連接OD并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于E點(diǎn)，連接AE．
（1）求證：∠BAC=∠DBC；
（2）求證：△EDC～△EBD；
（3）已知：EC•BE=4a²（a＞0），tan∠BCD=2，求圓的半徑（用含α的式子表示）

Answer 1

分析 （1）直接利用圓周角定理結(jié)合互余的性質(zhì)得出：∠BAC=∠DBC；
（2）利用（1）中所求，結(jié)合相似三角形的判定方法得出答案；
（3）利用相似三角形的性質(zhì)結(jié)合銳角三角函數(shù)關(guān)系得出相似比，進(jìn)而求出答案．

解答 （1）證明：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD+∠ABD=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABD+∠DBC=90°，
∴∠BAD=∠DBC；

（2）證明：∵OA=OD，
∴∠BAC=∠ODA，
∵∠BAC=∠DBC，
∴∠ODA=∠DBC，
又∵∠AOD=∠CDE，
∴∠CDE=∠DBE，
又∵∠DEC=∠BED，
∴△EDC～△EBD；

（3）解：∵△EDC～△EBD，
∴$\frac{DE}{EC}$=$\frac{BE}{DE}$，
∴DE²=EC•BE，
∵EC•BE=4a²（a＞0），
∴DE=2a，
∵tan∠BCD=$\frac{BD}{DC}$=2，
∴$\frac{DE}{EC}$=$\frac{BE}{DE}$=$\frac{BD}{DC}$=2，
∴DE=4a，EC=a，
∴BC=3a，
又∵tan∠BCD=$\frac{AB}{BC}$=2，
∴AB=6a，
則圓的半徑為3a．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了圓的綜合以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，正確得出△EDC和△EBD的相似比是解題關(guān)鍵．