Question

18．將矩形紙片ABCD折疊，使點B落在邊CD上的B′處，折痕為AE，過B′作B′P∥BC，交AE于點P，連接BP．已知BC=3，CB′=1，下列結(jié)論：
①AB=5；
②sin∠ABP=$\frac{3}{5}$；
③四邊形BEB′P為菱形；
④S_{四邊形BEB′P}-S_△ECB′=1，
其中正確的是①③④．（把所有正確結(jié)論的序號都填在橫線上）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)翻折的性質(zhì)和勾股定理列方程求解，①正確；
（2）根據(jù)翻折的性質(zhì)和B′P∥BC證明B′P=BE，四邊形BEB′P為平行四邊形，再由BE=B′E，四邊形BEB′P為菱形，③正確；
（3）延長B′P與AB交于點M，則PM⊥AB，根據(jù)勾股定理得到BE，進而求出BP、PM，sin∠ABP=$\frac{4}{5}$≠$\frac{3}{5}$；故②錯誤；
（4）S_{四邊形BEB′P}-S_△ECB′=BE×CB′-$\frac{1}{2}$CE×CB′=1，④正確．

解答 解：（1）設(shè)AB=CD=x，根據(jù)翻折的性質(zhì)AB=AB′=x，B′D=x-1，AD=3
∴x²=（x-1）²+3²，
解得：x=5，
∴①正確；
（2）∵B′P∥BC，
∴∠BEP=∠B′PE，
根據(jù)翻折的性質(zhì)∠BEP=∠B′EP，
∴∠B′EP=∠B′PE，
∴B′E=B′P，
∵BE=B′E，
∴BE=B′P，
∴四邊形BEB′P為菱形，
∴③正確；
（3）延長B′P與AB交于點M，則PM⊥AB，
設(shè)BE=m，則CE=3-m，CB′=1，
∴m²=（3-m）²+1²，
解得：m=$\frac{5}{3}$，
∴BE=BP=B′P=$\frac{5}{3}$，
∴CE=PM=$\frac{4}{3}$，
∴sin∠ABP=$\frac{PM}{BP}$=$\frac{4}{5}$，
∴②錯誤；
（4）S_{四邊形BEB′P}-S_△ECB′=BE×CB′-$\frac{1}{2}$CE×CB′=$\frac{5}{3}×1-\frac{1}{2}×\frac{4}{3}×1$=1，
∴④正確．
故答案為：①③④．

點評 本題考查了翻折變換，解答過程中涉及了平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理，屬于綜合性題目，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)翻折變換的性質(zhì)得出對應(yīng)角、對應(yīng)邊分別相等，然后分別判斷每個結(jié)論，難度較大，注意細心判斷．