Question

7．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，點P從點A出發(fā)，沿AC以每秒1個單位的速度向終點C運動，點Q從點C出發(fā)，沿C-B-A以每秒2個單位的速度向終點A運動，當點P停止運動時，點Q也隨之停止，點P，Q同時出發(fā)，設(shè)點P的運動時間為t（秒）．
（1）求AB的長；
（2）用含t的代數(shù)式表示CP的長；
（3）設(shè)點Q到CA的距離為y，求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（4）若點C關(guān)于直線PQ的對稱點為C′，當0＜t＜8時，請直接寫出直線PC′與△ABC的直角邊平行或垂直時t的值．

Answer 1

分析 （1）在△ABC中，由勾股定理，求出AB的長是多少即可．
（2）首先求出AP的長度，然后用AC的長度減去AP的長度，求出CP的長度是多少即可．
（3）根據(jù)題意，分兩種情況：①當0≤t≤3時；②當3＜t≤8時；求出y與t之間的函數(shù)關(guān)系式即可．
（4）根據(jù)題意，分三種情況：①PC′∥BC，且點C′在AC所在的直線的上方；②PC′⊥BC；③PC′∥BC，且點C′在AC所在的直線的下方；求出直線PC′與△ABC的直角邊平行或垂直時t的值各是多少即可．

解答 解：（1）如圖1，

∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，
∴AB=$\sqrt{{AC}^{2}{+BC}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}{+6}^{2}}$=10．     
           
（2）∵點P從點A出發(fā)，沿AC以每秒1個單位的速度向終點C運動，
∴AP=t，
又∵AC=8，
∴CP=8-t．    
                              
（3）①如圖2，當0≤t≤3時，
，
∵點Q從點C出發(fā)，沿C-B-A以每秒2個單位的速度向終點A運動，
∴y=QC=2t．                       
②如圖3，當3＜t≤8時，如圖，作QD⊥AC于點D，
，
∵sinA=$\frac{DQ}{QA}$=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$，
∴$\frac{y}{6+10-2t}$=$\frac{3}{5}$，
∴y=-$\frac{6}{5}$t$+\frac{48}{5}$．    
                       
（4）①如圖4，CC′與PQ交于點O，PC′∥BC，
，
∵點C關(guān)于直線PQ的對稱點為C′，
∴CO=OC′，PC′=PC=8-t，
∵PC′∥BC，
∴$\frac{PC′}{CQ}=\frac{OC′}{CO}=1$，
∴PC′=CQ，
∴8-t=2t，
解得t=$\frac{8}{3}$．
②如圖5，
，
當PQ∥BC時，點C關(guān)于直線PQ的對稱點C′在線段AP上，
∴PC′⊥BC，
∵PQ∥BC，
∴$\frac{AP}{CP}=\frac{AQ}{BQ}$，
∴$\frac{t}{8-t}=\frac{6+10-2t}{2t-6}$，
解得t=$\frac{64}{13}$．
③如圖6，CC′與QP的延長線交于點D，PC′∥BC，

∵點C關(guān)于直線PQ的對稱點為C′，
∴CD=DC′，PC′=PC，
∵PC′∥BC，BC⊥AC，
∴PC′⊥AC，∠CPC′=90°，
∴∠CPD=45°，
又∵∠APQ=∠CPD，
∴∠APQ=45°，
∴sin∠AQP=sin（45°+∠PAQ）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×（$\frac{6}{10}+\frac{8}{10}$）=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$，
在△APQ中，由正弦定理，可得
$\frac{AQ}{sin45°}=\frac{AP}{sin∠AQP}$，
∴$\frac{6+10-2t}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{t}{\frac{7\sqrt{2}}{10}}$，
解得t=$\frac{112}{19}$．
綜上，可得直線PC′與△ABC的直角邊平行或垂直時，t=$\frac{8}{3}$，$\frac{64}{13}$或$\frac{112}{19}$．

點評 （1）此題主要考查了相似形綜合題，考查了三角形相似的判定和性質(zhì)的應用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①三邊法：三組對應邊的比相等的兩個三角形相似；②兩邊及其夾角法：兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似；③兩角法：有兩組角對應相等的兩個三角形相似．
（2）此題還考查了分析推理能力，考查了分類討論思想的應用，考查了數(shù)形結(jié)合思想的應用，考查了勾股定理的應用，要熟練掌握．