Question

19．AC為⊙O的直徑，B是⊙O外一點，AB交⊙O于E點，過E點作⊙O的切線，交BC于D點，DE=DC，作EF⊥AC于F點，交AD于M點．
（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）求證：EM=FM．

Answer 1

分析 （1）連接CE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠1=∠2，由弦切角定理得到∠2=∠BAC，根據(jù)圓周角定理得到∠AEC=90°，于是得到∠BAC+∠3=90°，等量代換得到∠1+∠3=90°，求得∠ACB=90°，即可得到結(jié)論；
（2）由BC⊥AC，EF⊥AC求得EF∥BC，于是得到△AEM∽△ABD，△ANF∽△ACD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{EM}{BD}=\frac{AM}{AD}$，$\frac{MF}{CD}=\frac{AM}{AD}$，等量代換得到$\frac{EM}{BD}=\frac{FM}{CD}$，根據(jù)比例的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）連接CE，
∵DE=CD，
∴∠1=∠2，
∵DE是⊙O的切線，
∴∠2=∠BAC，
∵AC為⊙O的直徑，
∴∠AEC=90°，
∴∠BAC+∠3=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠ACB=90°，
∴BC是⊙O的切線；

（2）∵∠1+∠3=90°，
∴BC⊥AC，
∵EF⊥AC，
∴EF∥BC，
∴△AEM∽△ABD，△ANF∽△ACD，
∴$\frac{EM}{BD}=\frac{AM}{AD}$，$\frac{MF}{CD}=\frac{AM}{AD}$，
∴$\frac{EM}{BD}=\frac{FM}{CD}$，
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠B=∠2+∠BED=90°，
∴∠B=∠BED，
∴DE=BD，
∴BD=CD，
∴EM=FM．

點評 本題考查了切線的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確的畫出圖形是解題的關(guān)鍵．