Question

2．已知，矩形ABCD．
（1）如圖1把矩形ABCD對折，使AD與BC重合（即A點(diǎn)與B點(diǎn)重合，D點(diǎn)與C點(diǎn)重合），得到折痕EF，展開后再一次過點(diǎn)C折疊紙片，使D點(diǎn)落在直線EF上，記為點(diǎn)M（折痕為CN），求∠MNC的度數(shù)．
（2）如圖2，取AD邊的中點(diǎn)P，剪下△BPC，將△BPC沿著射線BC的方向依次進(jìn)行平移變換，每次均移動BC的長度，得到△CME，△EFG和△GHI（如圖3）．若BH=BI，BC=a．
①連接BM，BF，BH，證明BM，BF，BH為三邊構(gòu)成的新三角形是直角三角形；
②若這個新三角形面積小于50$\sqrt{15}$，直接寫出a的最大整數(shù)值．

Answer 1

分析 （1）利用線段垂直平分線的性質(zhì)結(jié)合翻折變換的性質(zhì)得出△MDC為等邊三角形，進(jìn)而得出∠MNC的度數(shù)；
（2）①分別取CE、EG、GI的中點(diǎn)R、Q、N，連接RM、FQ、HN、BM、BF、BH，由BP=PC，根據(jù)平移變換的性質(zhì)，就有△CME、△EFG和△GHI都是等腰三角形，就有RM⊥CE，F(xiàn)Q⊥EG，HN⊥GI，由勾股定理就可以求出HN²=$\frac{15}{4}$a²，從而得出新三角形三邊的值，從而得出結(jié)論；
②利用直角三角形面積求法結(jié)合二次根式的性質(zhì)得出答案．

解答 解：（1）如答圖1，連接DM，
由題意得EF垂直平分DC，故MC=DM，由翻折可得，DC=MC，∠1=∠2，
故△MDC為等邊三角形，
∴∠MCD=60°，
∴∠1=∠2=30°，
∴∠MNC=60°；

（2）①如答圖2，分別取CE、EG、GI的中點(diǎn)R、Q、N，連接RM、FQ、HN、BM、BF、BH，
∵△PBC中，PB=PC，根據(jù)平移變換的性質(zhì)，△CME、△EFG和△GHI都是等腰三角形，
∴RM⊥CE，F(xiàn)Q⊥EG，HN⊥GI．
在Rt△BHN中，BH=BI=4a，
BH²=HN²+BN²，HN²=$\frac{15}{4}$a²，
則RM²=FQ²=HN²=$\frac{15}{4}$a²，
BM²=BR²+RM²=6a²，BF²=BQ²+FQ²=10a²，
新三角形三邊長為4a、$\sqrt{6}$a、$\sqrt{10}$a．
∵BH²=BM²+BF²
∴新三角形為直角三角形．        
（或通過轉(zhuǎn)換得新三角形三邊就是BM、MI、BI，即求△BMI的面積或利用△HBI與△HGI相似，求△HBI的面積也可以）．

②由①得：新三角形為直角三角形，其面積為：
$\frac{1}{2}$×BM×BF=$\frac{1}{2}$$\sqrt{6}$a•$\sqrt{10}$a=$\sqrt{15}$a²．
∵這個新三角形面積小于50$\sqrt{15}$，
∴$\sqrt{15}$a²＜50$\sqrt{15}$，
∴a²＜50
∴a的最大整數(shù)值為7．

點(diǎn)評 本題考查了翻折變換的運(yùn)用、平移變換的運(yùn)用、勾股定理的運(yùn)用，等腰三角形的性質(zhì)的運(yùn)用、三角形的面積公式的運(yùn)用．本題的綜合性較強(qiáng)要求學(xué)生熟練的運(yùn)用圖形變換解題是關(guān)鍵．