Question

13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有一邊長(zhǎng)為1的正方形OABC，邊OA、OC分別在x軸、y軸上，如果以對(duì)角線OB為邊作第二個(gè)正方形OBB₁C₁，再以對(duì)角線OB₁為邊作第三個(gè)正方形OB₁B₂C₂，照此規(guī)律作下去，則點(diǎn)B₉的坐標(biāo)為（0，32），點(diǎn)B₂₀₁₇的坐標(biāo)為（0，2¹⁰⁰⁸）．．

Answer 1

分析 首先求出B₁、B₂、B₃、B₄、B₅、B₆、B₇、B₈、B₉的坐標(biāo)，找出這些坐標(biāo)的之間的規(guī)律，然后根據(jù)規(guī)律計(jì)算出點(diǎn)B₂₀₁₇的坐標(biāo)．

解答 解：∵正方形OABC邊長(zhǎng)為1，
∴OB=$\sqrt{2}$，
∵正方形OBB₁C₁是正方形OABC的對(duì)角線OB為邊，
∴OB₁=2，
∴B₁點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），
同理可知OB₂=2$\sqrt{2}$，
∴B₂點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，2），
同理可知OB₃=4，B₃點(diǎn)坐標(biāo)為（-4，0），
B₄點(diǎn)坐標(biāo)為（-4，-4），B₅點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-8），
B₆（8，-8），B₇（16，0）
B₈（16，16），B₉（0，32），
由規(guī)律可以發(fā)現(xiàn)，每經(jīng)過(guò)8次作圖后，點(diǎn)的坐標(biāo)符號(hào)與第一次坐標(biāo)符號(hào)相同，每次正方形的邊長(zhǎng)變?yōu)樵瓉?lái)的$\sqrt{2}$倍，
∵2017÷8=252…1，
∴B₂₀₁₇的縱橫坐標(biāo)符號(hào)與點(diǎn)B₁的相同，橫坐標(biāo)為0，縱坐標(biāo)是正值，
∴B₂₀₁₇的坐標(biāo)為（0，2¹⁰⁰⁸）．
故答案為：（0，32），（2¹⁰⁰⁷，-2¹⁰⁰⁸）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正方形的性質(zhì)和坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)的知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是由點(diǎn)坐標(biāo)的規(guī)律發(fā)現(xiàn)每經(jīng)過(guò)8次作圖后，點(diǎn)的坐標(biāo)符號(hào)與第一次坐標(biāo)符號(hào)相同，每次正方形的邊長(zhǎng)變?yōu)樵瓉?lái)的$\sqrt{2}$倍，此題難度較大