Question

1．如圖，△ABC中，∠ACB＞∠ABC，點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，AO的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)D，OE⊥BC于點(diǎn)E
（1）若∠BAC=90°
①求∠BOC的度數(shù)
②如果∠DOE=15°，求∠EOC的度數(shù)
（2）設(shè)∠OBC=α，∠OCB=β，求∠DOE（用α、β表示）

Answer 1

分析 （1）①由三角形的內(nèi)角和得到∠ABC+∠ACB=90°，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCD=$\frac{1}{2}$∠ACB，于是得到∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=45°，即可得到結(jié)論；
②由O是△ABC的三內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，得到∠ABO=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠BAO=$\frac{1}{2}$∠BAC，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠BAC+∠ABC=180°-∠ACB，推出∠BOD=∠BAO+∠ABO=$\frac{1}{2}$（∠BAC+∠ABC）=$\frac{1}{2}$（180°-∠ACB）=90°-$\frac{1}{2}$∠ACB，根據(jù)三角形的內(nèi)角和和角平分線的性質(zhì)得到∠EOC=90°-$\frac{1}{2}$∠ACB，即可得到結(jié)果；
（2）根據(jù)已知條件得到DOE=$\frac{1}{2}$（∠ACB-∠ABC），再根據(jù)角平分線的定義代入即可求解．

解答 解：（1）①∵∠BAC=90°，
∴∠ABC+∠ACB=90°，
∵BO平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCD=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=45°，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=135°；
②∵O是△ABC的三內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，
∴∠ABO=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠BAO=$\frac{1}{2}$∠BAC，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠BAC+∠ABC=180°-∠ACB，
∴∠BOD=∠BAO+∠ABO=$\frac{1}{2}$（∠BAC+∠ABC）=$\frac{1}{2}$（180°-∠ACB）=90°-$\frac{1}{2}$∠ACB，
∵∠OEC=90°，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠EOC=90°-$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠BOD=∠EOC=$\frac{1}{2}$（135°-15°）=60°；
（2）∠DOE=$\frac{1}{2}$（∠ACB-∠ABC）=β-α．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形的內(nèi)角和，角平分線的性質(zhì)，熟練掌握三角形的內(nèi)角和是解題的關(guān)鍵．