Question

16．在平面直角坐標(biāo)中，邊長(zhǎng)為4的正方形OABC的兩頂點(diǎn)A、C分別在y軸、x軸的正半軸上，點(diǎn)O在原點(diǎn)．現(xiàn)將正方形OABC繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為θ，當(dāng)A點(diǎn)第一次落在直線y=x上時(shí)停止旋轉(zhuǎn)．旋轉(zhuǎn)過程中，AB邊交直線y=x于點(diǎn)M，BC邊交x軸于點(diǎn)N（如圖）．
（1）求邊AB在旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積；
（2）設(shè)△MBN的周長(zhǎng)為p，在旋轉(zhuǎn)正方形OABC的過程中，p值是否有變化？請(qǐng)證明你的結(jié)論；
（3）當(dāng)旋轉(zhuǎn)角θ為多少度時(shí)，△OMN的面積最小，并求出此時(shí)△BMN內(nèi)切圓的半徑．

Answer 1

分析 （1）S_陰=S_△OAB+S_扇形OBB′-S_△OAA′-S_扇形OAA′，根據(jù)公式即可求解．
（2）延長(zhǎng)BA交y軸于E點(diǎn)，可以證明：△OAE≌△OCN，△OME≌△OMN證得：OE=ON，AE=CN，MN=ME=AM+AE=AM+CN．從而求得：P=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=8．即可求解．
（3）設(shè)MN=m，AM=t．由（2）知，在Rt△MNB中，MN²=MB²+NB²，利用 MN+MB+NB=8，得出m²=（4-t）²+（8-m-4+t）²，即可得出m的取值范圍，即可得出△OMN的面積最小值，再利用直角三角形內(nèi)切圓半徑求法得出答案即可．

解答 解：（1）如圖1，

S_陰=S_△OAB+S_扇形OBB′-S_△OA'B′-S_扇形OAA′
=S_扇形OBB′-S_扇形OAA′
=$\frac{45}{360}π•{（4\sqrt{2}）^2}-\frac{45}{360}π•{（4）^2}$
=2π．

（2）p值無變化．
證明：延長(zhǎng)BA交y軸于E點(diǎn)．（如圖2）

在△OAE與△OCN中，
$\left\{\begin{array}{l}∠AOE=∠CON\\∠OAE=∠OCN={90°}\\ OA=OC\end{array}\right.$，
∴△OAE≌△OCN，
∴OE=ON，AE=CN．
在△OME與△OMN中，
$\left\{\begin{array}{l}OE=ON\\∠MOE=∠MON={45°}\\ OM=OM\end{array}\right.$，
∴△OME≌△OMN．
∴MN=ME=AM+AE，
∴MN=AM+CN，
∴p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=8．
∴在旋轉(zhuǎn)正方形OABC的過程中，p值無變化．

（3）當(dāng)θ=22.5°時(shí)，△OMN的面積最小，
因?yàn)镾_△OMN=S_△MOE=$\frac{1}{2}$OA•ME=$\frac{1}{2}$ME=$\frac{1}{2}$MN，
設(shè)MN=m，AM=t．由（2）知，在Rt△MNB中，MN²=MB²+NB²，
因?yàn)?nbsp; MN+MB+NB=8，
所以m²=（4-t）²+（8-m-4+t）²，
得：t²-mt+16-4m=0，
因?yàn)椤?m²-4（16-4m）≥0，
所以m≤-8-8$\sqrt{2}$（舍去）或m≥-8+8$\sqrt{2}$，
所以S_△OMN的最小值為：$\frac{1}{2}$×（-8+8$\sqrt{2}$）=4$\sqrt{2}$-4．
此時(shí)△=0，
∴t=$\frac{m}{2}$=$\frac{ME}{2}$，
∴A為ME的中點(diǎn)．
又因?yàn)镺A⊥ME，所以O(shè)A是∠MOE的平分線，所以θ=22.5°．
在Rt△MNB中，BM=4-t=8-4$\sqrt{2}$，BN=8-MN-BM=8-4$\sqrt{2}$，MN=8$\sqrt{2}$-8，
設(shè)Rt△BMN的內(nèi)切圓半徑為r，
所以r=$\frac{BM+BN-MN}{2}$=12-8$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了一次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及根的判別式、全等三角形的判定與性質(zhì)、扇形面積求法等知識(shí)，利用圖形旋轉(zhuǎn)的變化規(guī)律得出對(duì)應(yīng)邊之間關(guān)系是解題關(guān)鍵．