Question

8．已知，如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD，∠BAF=∠DAE，AE與BD交于點(diǎn)G．
（1）求證：BE=DF；
（2）若菱形的邊長為15cm，$\frac{AG}{GE}$=$\frac{5}{3}$，求DF的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AB=AD，∠ABC=∠ADF，由已知條件得到∠BAE=∠DAF，于是證得△ABE與△AFD全等后即可證得結(jié)論；
（2）由四邊形ABCD是菱形，得到BC=DC，求得CE=CF，通過三角形相似得到$\frac{AD}{BE}=\frac{AG}{EG}$=$\frac{5}{3}$，于是推出$\frac{DF}{CF}$=$\frac{3}{2}$，即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=AD，∠ABC=∠ADF，
∵∠BAF=∠DAE，
∴∠BAF-∠EAF=∠DAE-∠EAF，
即：∠BAE=∠DAF，
在△BAE與△DAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABC=∠ADF}\\{∠BAE=∠DAF}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△BAE≌△DAF，
∴BE=DF；

（2）∵四邊形ABCD是菱形，
∴BC=DC，
∵BE=DF，
∴CE=CF，
∵AD∥BE，
∴△ADG∽△BGE，
∴$\frac{AD}{BE}=\frac{AG}{EG}$=$\frac{5}{3}$，
∴$\frac{BE}{CE}$=$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{DF}{CF}$=$\frac{3}{2}$，
∵CD=15cm，
∴DF=9cm．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．