Question

1．如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，按下列條件得到的四邊形BFDE是平行四邊形的個數(shù)是（　�。�

①圖甲，DE⊥AC，BF⊥AC
②圖乙，DE平分∠ADC，BF平分∠ABC
③圖丙，E是AB的中點，F(xiàn)是CD的中點
④圖丁，E是AB上一點，EF⊥AB．

• A． 3個
• B． 4個
• C． 1個
• D． 2個

Answer 1

分析 ①由DE⊥AC，BF⊥AC，可得DE∥BF，又由四邊形ABCD是平行四邊形，利用△ACD與△ACB的面積相等，即可判定DE=BF，然后由一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，證得四邊形BFDE是平行四邊形；
②由四邊形ABCD是平行四邊形，DE平分∠ADC，BF平分∠ABC，易證得△ADE≌△CBF，則可判定DE∥BF，DE=BF，繼而證得四邊形BFDE是平行四邊形；
③由四邊形ABCD是平行四邊形，E是AB的中點，F(xiàn)是CD的中點，易證得DF∥BE，DF=BE，繼而證得四邊形BFDE是平行四邊形；
④無法確定DF=BE，只能證得DF∥BE，故不能判定四邊形BFDE是平行四邊形．

解答 解：①∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴S_△ACD=S_△ABC，
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴DE∥BF，S_△ACD=$\frac{1}{2}$AC•DE，S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BF，
∴DE=BF，
∴四邊形BFDE是平行四邊形；

②∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠ADC=∠ABC，AD=CB，AD∥BC，
∴∠DAE=∠BCF，
∵DE平分∠ADC，BF平分∠ABC，
∴∠ADE=∠CBF，
在△ADE和△CBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADE=∠CBF}\\{AD=CB}\\{∠DAE=∠BCF}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CBF（ASA），
∴DE=BF，∠AED=∠BFC，
∴∠DEF=∠BFE，
∴DE∥BF，
∴四邊形BFDE是平行四邊形；

③證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵E是AB的中點，F(xiàn)是CD的中點，
∴DF=$\frac{1}{2}$CD，BE=$\frac{1}{2}$AB，
∴DF=BE，
∴四邊形BFDE是平行四邊形；

④∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵E是AB上一點，EF⊥AB，
無法判定DF=BE，
∴四邊形BFDE不一定是平行四邊形．
故選A．

點評 本題考查了平行四邊形的判定以及全等三角形的判定與性質(zhì)．注意掌握一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形定理的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．