Question

19．在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，建立如圖所示的平面直角坐標系，已知A（0，2$\sqrt{3}$），B（-2，0）．
（1）分別寫出C、D兩點的坐標：C（4，0）、D（2，2$\sqrt{3}$）；
（2）若動點O₁在線段CD上運動（O₁不與端點C、D重合），以O(shè)₁C為半徑作圓．
①如圖1，以CD為直徑的⊙O₁交BC于點E，試求線段CE的長，并判斷此時⊙O₁與y軸的位置關(guān)系；
②如圖2，若點F為AB中點，設(shè)點O₁（a，b），試探索：點O₁在線段CD上運動過程中，當⊙O₁與直線EF相離時，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）作DH⊥BC于H，如圖1，根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)得CE=OB=2，DE=OA=2$\sqrt{3}$，則OC=OE+EC=4，于是可得到C點和D點坐標；
（2）①根據(jù)圓周角定理得∠DEC=90°，即DE⊥OC，再根據(jù)等腰直角梯形的性質(zhì)得CE=OB=2；作O₁N⊥AO于N，如圖1，易得O₁N為梯形AOCD的中位線，于是可計算出O₁N=$\frac{1}{2}$（AD+OC）=3，然后根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系可判斷⊙O₁與y軸相離；
②先利用勾股定理計算出AB=4，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到∠BAO=30°，∠ABO=60°，則BF=2，再證明△ABO≌△EBF得到∠BAO=∠BEF=30°；連結(jié)O₁E，作O₁Q⊥CE于Q，如圖2，接著證明EF與⊙O₁相切，并求出此時O₁的橫坐標為（3，1），于是可說明當a=3時，⊙O₁與直線EF相切，所以當3＜a＜4時，⊙O₁與直線EF相離．

解答 解：（1）作DH⊥BC于H，如圖1，
∵A（0，2$\sqrt{3}$），B（-2，0），
∴OB=2，OA=2$\sqrt{3}$，
∵梯形ABCD為等腰梯形，
∴CE=OB=2，DE=OA=2$\sqrt{3}$，
而AD=2，
∴OC=OE+EC=4，
∴C（4，0），D（2，2$\sqrt{3}$）；
故答案為：4，0；2，2$\sqrt{3}$；

（2）①∵CD為直徑，
∴∠DEC=90°，
∴DE⊥OC，
∴CE=OB=2；
作O₁N⊥AO于N，如圖1，
∵點O₁為CD的中點，
∴O₁N為梯形AOCD的中位線，
∴O₁N=$\frac{1}{2}$（AD+OC）=$\frac{1}{2}$×（2+4）=3，
∴O₁N＞$\frac{1}{2}$CD，
∴⊙O₁與y軸相離；
②在Rt△ABO中，∵OB=2，OA=2$\sqrt{3}$，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=4，
∴∠BAO=30°，∠ABO=60°，
∵點F為AB中點，
∴BF=2，
在△ABO和△EBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BO=BF}\\{∠ABO=∠EBO}\\{BA=BE}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△EBF，
∴∠BAO=∠BEF=30°，
連結(jié)O₁E，作O₁Q⊥CE于Q，如圖2，
∵∠DCE=∠ABO=60°，O₁E=O₁C，
∴△O₁EC為等邊三角形，
∴∠O₁EC=60°，CE=O₁C，
∴∠O1EF=180°-∠BEF-∠O₁EC=90°，
∴EF與⊙O₁相切，
∵O₁Q⊥CE于Q，
∴EQ=CQ=$\frac{1}{2}$EC=1，
∴此時O₁的橫坐標為（3，1），
即a=3時，⊙O₁與直線EF相切，
∴當3＜a＜4時，⊙O₁與直線EF相離．

點評 本題考查了圓的綜合題：熟練掌握圓周角定理、直線與圓的位置關(guān)系和等腰梯形的性質(zhì)；會運用三角形全等證明角相等的問題；記住含30度的直角三角形三邊的關(guān)系．