Question

15．如圖1是邊長為6的菱形ABCD，E是BC的中點，AE、BD相交于點P．
（1）如圖2，當∠ABC=90°時，求BP的長．
（2）如圖3，當∠ABC角度在改變時，BP的中垂線與邊BC的交點F的位置是否發(fā)生變化？如果不變，請求出BF的長；如果改變，請說明理由．
（3）當∠ABC從90°逐步減少到30°的過程中，求P點經(jīng)過路線長．

Answer 1

分析 （1）由菱形的性質(zhì)得出AD=BC=CD=6，AD∥BC，由平行線得出△BEP∽△DAP，得出比例式$\frac{BP}{DP}=\frac{BE}{AD}$=$\frac{1}{2}$，證明菱形ABCD是正方形，由勾股定理得出BD=6$\sqrt{2}$，得出BP=$\frac{1}{3}$BD=2$\sqrt{2}$；
（2）由菱形的性質(zhì)得出∠ABD=∠CBD，由垂直平分線的性質(zhì)得出BF=PF，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠FBP=∠BPF，∠BPF=∠ABD，證出PF∥AB∥CD，得出比例式$\frac{BF}{BC}=\frac{BP}{BD}$=$\frac{1}{3}$，求出BF=$\frac{1}{3}$BC=2即可；
（3）P點經(jīng)過路線是以F為圓心，BF為半徑的圓弧，由弧長公式即可得出答案．

解答 解：（1）∵E是BC的中點，
∴BE=CE=$\frac{1}{2}$BC，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴△BEP∽△DAP，
∴$\frac{BP}{DP}=\frac{BE}{AD}$=$\frac{1}{2}$，
∵∠ABC=90°，
∴菱形ABCD是正方形，
∴BD=$\sqrt{{6}^{2}+{6}^{2}}$=6$\sqrt{2}$，
∴BP=$\frac{1}{3}$BD=2$\sqrt{2}$；

（2）不發(fā)生變化；理由如下：
∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠ABD=∠CBD，
又∵BP的中垂線與邊BC交于點F，
∴BF=PF，
∴∠FBP=∠BPF，∠BPF=∠ABD，
∴PF∥AB∥CD，
∴$\frac{BF}{BC}=\frac{BP}{BD}$=$\frac{1}{3}$，
∴BF=$\frac{1}{3}$BC=2，
即點F的位置不發(fā)生改變；

（3）P點經(jīng)過路線是以F為圓心，BF為半徑的圓弧，長度為$\frac{（90-30）π×2}{180}$=$\frac{2}{3}$π．

點評 本題是四邊形綜合題目，考查了菱形的性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、線段垂直平分線的性質(zhì)以及弧長公式等知識；熟練掌握菱形的性質(zhì)，證明三角形相似是解決問題的關(guān)鍵．