Question

19．如圖，在平行四邊形ABCD中，以AC為邊長(zhǎng)在其兩側(cè)各作一正三角形ACP和ACQ．求證：四邊形BPDQ是平行四邊形．

Answer 1

分析 根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AD=BC，AD∥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠DAC=∠BCA，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出AP=AC=CQ，∠PAC=∠QCA=60°，CP=AC=AQ，∠PCA=∠QAC=60°，求出∠PAD=∠QCB，∠PCB=∠QAD，證△PAD≌△QCB和△PCB≌△QAD，推出PB=DQ和PD=BQ，根據(jù)平行四邊形的判定推出即可．

解答 證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA，
∵以AC為邊長(zhǎng)在其兩側(cè)各作一正三角形ACP和ACQ，
∴AP=AC=CQ，∠PAC=∠QCA=60°，
∴∠PAC-∠DAC=∠QCA-∠BCA，
∴∠PAD=∠QCB，
在△PAD和△QCB中，
$\left\{\begin{array}{l}{PA=QC}\\{∠PAD=∠QCB}\\{AD=CB}\end{array}\right.$，
∴△PAD≌△QCB（SAS），
∴PD=QB，
∵以AC為邊長(zhǎng)在其兩側(cè)各作一正三角形ACP和ACQ，
∴CP=AC=AQ，∠PCA=∠QAC=60°，
∵∠DAC=∠BCA，
∴∠PCA+∠BCA=∠QAC+∠DAC，
∴∠PCB=∠QAD，
在△PCB和△QAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{PC=QA}\\{∠PCB=∠QAD}\\{CB=AD}\end{array}\right.$，
∴△PCB≌△QAD（SAS），
∴PB=DQ，
∵PD=BQ，
∴四邊形BPDQ是平行四邊形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能求出PB=DQ和PD=BQ是解此題的關(guān)鍵．