Question

3．在△ABC中，已知AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分線MN交AC于D．下列結(jié)論中：①∠C=72°； ②BD是△ABC的中線；③∠BDC=100°；④△ABD是等腰三角形；⑤AD=BD=BC．正確的序號(hào)有（　�。�

• A． ①③④
• B． ①④⑤
• C． ①②⑤
• D． ②④⑤

Answer 1

分析 根據(jù)題意畫(huà)出圖形，再根據(jù)在△ABC中，已知AB=AC，∠A=36°求出∠C的度數(shù)；由線段垂直平分線的性質(zhì)求出∠ABD的度數(shù)，故可得出∠DBC的度數(shù)，進(jìn)而得出BD是∠ABC的平分線；由三角形內(nèi)角和定理可求出∠BDC的度數(shù)；由線段垂直平分線的性質(zhì)，易證得△ABD是等腰三角形．

解答 解：∵△ABC中，∠A=36°，AB=AC，
∴∠ABC=∠C=$\frac{180°-∠A}{2}$=72°，
故①正確；
∵DM是AB的垂直平分線，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A=36°，
∴∠DBC=∠ABC-∠DBC=72°-36°=36°，
∴BD是∠ABC的平分線，
故②錯(cuò)誤；
∵在△BCD中，∠DBC=36°，∠C=72°，
∴∠BDC=180°-（∠DBC+∠C）=180°-（36°+72°）=72°．
故③錯(cuò)誤；
∵DM是AB的垂直平分線，
∴AD=BD
∴△ABD是等腰三角形；
故④正確；
∵M(jìn)N是線段AB的垂直平分線，
∴AD=BD，
∵∠A=∠ABD=36°，
∴∠CBD=36°，
∴BD=BC，
∴AD=BD=BC，故⑤正確．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)及等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟知垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等是解答此題的關(guān)鍵．