Question

7．我們知道，三角形的中線平分三角形的面積．
（1）AE 是△AEC的中線．在△ABC的外部作△ACD，F(xiàn)是AD的中點，連接CF（圖1），若四邊形ABCD的面積是S，則四邊形AECF的面積是$\frac{S}{2}$．
（2）任意四邊形ABCD的面積是S，E、F分別是一組對邊AB、CD的中點，連接AF、CE（圖2），則四邊形AECF的面積是$\frac{S}{2}$．
（3）四邊形ABCD的面積是10，E，F(xiàn)分別是一組對邊AB，CD上的點，且AE=$\frac{1}{3}$AB，CF=$\frac{1}{3}$CD，連接AF，CE（圖3），則四邊形AECF的面積是$\frac{10}{3}$．
（4）若八邊形ABCDEFGH的面積是10，K，M，N，O，P，Q分別是AB，BC，CD，EF，F(xiàn)G，GH的中點，連接KH，MG，NF，OD，PC，QB（圖4），則圖中陰影部分的面積是5．

Answer 1

分析 （1）分別可得S_△AEC=$\frac{1}{2}$S_△ABC，S_△AFC=$\frac{1}{2}$S_△ACD，從而可得S_{四邊形AECF}=$\frac{1}{2}$S_{四邊形ABCD}．
（2）同（1），可得S_{四邊形AECF}=$\frac{1}{2}$S_{四邊形ABCD}．
（3）分別得到S_△AEC=$\frac{1}{3}$S_△ABC，S_△AFC=$\frac{1}{3}$S_△ACD，從而可得S_{四邊形AECF}=$\frac{1}{3}$S_{四邊形ABCD}．
（4）連接CF、BG，根據(jù)（2）的結論，可得答案．

解答 解：（1）∵AE是△AEC的中線，
∴CE=$\frac{1}{2}$BC，
∴S_△AEC=$\frac{1}{2}$S_△ABC，
同理：S_△AFC=$\frac{1}{2}$S_△ACD，
∴S_{四邊形AECF}=$\frac{1}{2}$S_{四邊形ABCD}=$\frac{S}{2}$．

（2）連接AC，如圖a：

則S_{四邊形AECF}=$\frac{1}{2}$S_{四邊形ABCD}=$\frac{S}{2}$．

（3）連接AC，如圖b：

∵AE=$\frac{1}{3}$AB，CF=$\frac{1}{3}$CD，
∴S_△AEC=$\frac{1}{3}$S_△ABC，S_△AFC=$\frac{1}{3}$S_△ACD，
∴S_{四邊形AECF}=$\frac{1}{3}$S_{四邊形ABCD}=$\frac{10}{3}$．
（4）連接CF、BG，如圖c：

則可得S_{四邊形KBQH}=$\frac{1}{2}$S_{四邊形ABGH}，S_{四邊形MCPG}=$\frac{1}{2}$S_{四邊形BCFG}，S_{四邊形NDOF}=$\frac{1}{2}$S_{四邊形CDEF}，
∴S陰影=$\frac{1}{2}$S_{八邊形ABCDEFGH}=5．
故答案為：$\frac{S}{2}$、$\frac{S}{2}$、$\frac{10}{3}$、5．

點評 本題考查了四邊形的綜合，解答本題的關鍵是掌握三角形中線的性質，注意融會貫通，將前面的結論運用到后面的解題中去，難度一般．