Question

15．如圖，把正六邊形各邊按同一方向延長，使延長的線段與原正六邊形的邊長相等，順次連接這六條線段外端點可以得到一個新的正六邊形，…，重復(fù)上述過程，經(jīng)過2018次后，所得到的正六邊形邊長是原正六邊形邊長的（　�。�

• A． （$\sqrt{2}$）²⁰¹⁶倍
• B． （$\sqrt{3}$）²⁰¹⁷倍
• C． （$\sqrt{3}$）²⁰¹⁸倍
• D． （$\sqrt{2}$）²⁰¹⁹倍

Answer 1

分析 先根據(jù)正六邊形的性質(zhì)得出∠1的度數(shù)，再根據(jù)AD=CD=BC判斷出△ABC的形狀及∠2的度數(shù)，求出AB的長，進而可得出，經(jīng)過2018次后，即可得出所得到的正六邊形的邊長．

解答 解：∵此六邊形是正六邊形，
∴∠1=180°-120°=60°，
∵AD=CD=BC，
∴△BCD為等邊三角形，
∴BD=$\frac{1}{2}$AC，
∴△ABC是直角三角形
又∵BC=$\frac{1}{2}$AC，
∴∠2=30°，
∴AB=$\sqrt{3}$BC=$\sqrt{3}$CD，
同理可得，經(jīng)過2次后，所得到的正六邊形是原正六邊形邊長（$\sqrt{3}$）²倍，
∴經(jīng)過2018次后，所得到的正六邊形是原正六邊形邊長的（$\sqrt{3}$）²⁰¹⁸，
故選C．

點評 本題考查的是正多邊形和圓，解答此題的關(guān)鍵是熟知正多邊形內(nèi)角的性質(zhì)及直角三角形的判定定理，此題有一定的難度．