Question

3．如圖，直線y=-$\frac{4}{3}$x+4與x軸、y軸分別相交于點A，B，點C從點O出發(fā)沿射線OB方向以每秒1個單位速度運動，同時點D從點B出發(fā)沿BA方向以相同的速度向點A運動．當(dāng)點D到達(dá)點A同時停止運動，點C也隨之停止．連接CD，過CD的中點E作EF⊥CD交y軸于點F，交x軸于點G，設(shè)運動的時間時t秒．
（1）當(dāng)t＜4時，求BC和AD的長（用含t的代數(shù)式表示）；
（2）當(dāng)t=4時，求線段DG的長；
（3）在點C和點D的運動過程中，
①當(dāng)直線FG經(jīng)過△ABO的頂點時，求出t的值；
②在整個運動過程中，求點E的運動路徑長（直接寫出答案）

Answer 1

分析 （1）當(dāng)t＜4時，由題意A（3，0），B（0，4），OA=3，OB=4，在Rt△AOB中，AB=$\sqrt{O{B}^{2}+O{A}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，由OC=BD=t，可得BC=4-t，AD=5-t；
（2）如圖1中，當(dāng)t=4時，點C與B重合，易知E（$\frac{6}{5}$，$\frac{12}{5}$），想辦法求出直線EF的解析式即可解決問題；
（3）①分三種情形討論求解即可．
②如圖5中，易知點E的運動軌跡是圖中線段HE，H是OA中點，求出點E、H兩點坐標(biāo)，利用兩點間距離公式求解即可；

解答 解：（1）當(dāng)t＜4時，由題意A（3，0），B（0，4），OA=3，OB=4，
在Rt△AOB中，AB=$\sqrt{O{B}^{2}+O{A}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∵OC=BD=t，
∴BC=4-t，AD=5-t．

（2）如圖1中，當(dāng)t=4時，點C與B重合，易知E（$\frac{6}{5}$，$\frac{12}{5}$），

∵EG⊥AD，
∴直線EG的解析式為y=$\frac{3}{4}$x+b，把（$\frac{6}{5}$，$\frac{12}{5}$）代入得到b=$\frac{3}{2}$，
∴直線FG的解析式為y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{3}{2}$，令y=0，得到x=-2，
∴點G坐標(biāo)為（-2，0）．

（3）①a、如圖2中，當(dāng)直線FG經(jīng)過點B時，

在Rt△BOC中，OC=t，BO=3，BC=BD=5-t，
∴（5-t）²=t²+3²，
解得t=$\frac{8}{5}$．

b、如圖3中，當(dāng)FG經(jīng)過點A時，

∵AD=AC，
∴4-t=t，
∴t=2．
C、如圖4中，當(dāng)直線FG經(jīng)過點O時，

易證OC=OD=AD=BD，
∴t=$\frac{5}{2}$，
綜上所述，當(dāng)直線FG經(jīng)過△ABO的頂點時，出t的值為$\frac{8}{5}$s或2s或$\frac{5}{2}$s．

②如圖5中，易知點E的運動軌跡是圖中線段HE，H是OA中點，

由題意E（$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$），H（0，2），
∴EH=$\sqrt{（\frac{3}{2}）^{2}+（2-\frac{5}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

點評 本題考查一次函數(shù)綜合題、線段的垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理、兩點間距離公式、兩直線垂直的條件等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題．