Question

18．如圖，直線a∥b，點A為直線a上的動點，點B為直線a，b之間的定點，點C為直線b上的定點．
（1）當∠DAB與∠ECB互余（如圖1）時，AB與BC存在怎樣的位置關(guān)系？請說明理由；
（2）在（1）的條件下，將等腰直角三角尺的一個銳角頂點與點B重合放置（如圖2）．BM平分∠ABP，交直線a于點M．BN平分∠QBC，交直線b于點N．當三角尺繞點B轉(zhuǎn)動，且BC始終在∠PBQ的內(nèi)部時，∠DMB+∠ENB的值是否變化？若不變，求其值；若變化，求其變化范圍；
（3）點F為直線a上一點，使得∠AFB=∠ABF，∠ABC的平分線交直線a于點G，當點A移動時，求$\frac{∠FBG}{∠ECB}$的值．

Answer 1

分析 （1）AB⊥BC，過B作BE∥AD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠1=∠2，∠3=∠4，于是得到∠1+∠3=∠2+∠4，根據(jù)已知條件∠1+∠3=90°，得到∠2+∠4=90°，于是得到結(jié)論；
（2）∠DMB+∠ENB的值不變化，由于∠ABQ=∠ABC+∠QBP-∠1=90°+45°-∠1，得到∠ABQ+∠1=135°，根據(jù)∠ABQ=∠1+∠ABP+∠QBC，于是得到2∠1+∠ABP+∠QBC=135°，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到∠MBP=$\frac{1}{2}∠ABP，∠NBC=\frac{1}{2}∠QBC$，于是得到2∠1+2∠MBP+2∠NBC=135°即∠1+∠MBP+∠NBC=67.5°，由（1）得∠DMB+∠ENB=∠MBN=∠1+∠MBP+∠NBC，即可得到結(jié)果；
（3）根據(jù)∠AFB=∠1+∠2，由（1）知∠3=∠2+∠4，由于∠3=∠ABG，于是得到∠2+∠4=∠1+∠ABF，根據(jù)∠AFB=∠ABF，推出∠2+∠4=∠1+∠1+∠2，于是得到∠4=2∠1，即可求得結(jié)論．

解答 解：（1）AB⊥BC，
理由：如圖1，過B作BE∥AD，
∵AD∥CE，
∴BE∥CE，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠1+∠3=∠2+∠4，
∵∠1+∠3=90°，
∴∠2+∠4=90°，
∴∠ABC=90°，
∴AB⊥BC；

（2）∠DMB+∠ENB的值不變化，
理由：如圖2，∵∠ABQ=∠ABC+∠QBP-∠1=90°+45°-∠1，
∴∠ABQ+∠1=135°，
∵∠ABQ=∠1+∠ABP+∠QBC，
∴2∠1+∠ABP+∠QBC=135°，
∵∠MBP=$\frac{1}{2}∠ABP，∠NBC=\frac{1}{2}∠QBC$，
∴2∠1+2∠MBP+2∠NBC=135°即∠1+∠MBP+∠NBC=67.5°，
由（1）得∠DMB+∠ENB=∠MBN=∠1+∠MBP+∠NBC，
∴∠DMB+∠ENB=67.5°；

（3）如圖3，∵∠AFB=∠1+∠2，
由（1）知∠3=∠2+∠4，
∵∠3=∠ABG，
∵∠ABG=∠1+∠ABF，
∴∠2+∠4=∠1+∠ABF，
∵∠AFB=∠ABF，
∴∠2+∠4=∠1+∠1+∠2，
即∠4=2∠1，
∴$\frac{∠FBG}{∠ECB}$=$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形外交的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．