Question

13．如圖1，某人用一張面積為S的三角形紙片ABC剪出一個△EFP，記△EFP得面積為T，已知E，F，P分別是△ABC三邊上的三點，且EF∥BC．
（1）如圖2，若P與B重合，設$\frac{AE}{AB}$分別等于$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{3}{4}$時，△PEF的面積分別為T₁，T₂，T₃．
①T₁=$\frac{1}{4}$S，T₂=$\frac{2}{9}$S，T₃=$\frac{3}{16}$S；（用含S的式子表示）
②寫出T₃的求解過程．
（2）在（1）中T₁，T₂，T₃中的最大值是否是所有滿足條件的△EFP（P與B或C不一定重合）的面積的最大值？若不是，求出T的最大值；若是，請給予證明．

Answer 1

分析 （1）①作AD⊥BC于D，交EF于G，根據相似三角形的判定定理得到△AEF∽△ABC，根據相似三角形的性質得到成比例線段，根據三角形的面積公式計算即可；
②T₃的求解過程見①中；
（2）設$\frac{AE}{AB}$=x，根據題意列出二次函數的解析式，根據二次函數的性質求出T的最大值判斷即可．

解答 解：（1）①作AD⊥BC于D，交EF于G，
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴$\frac{EF}{BC}$=$\frac{AG}{AD}$=$\frac{AE}{AB}$，
當$\frac{AE}{AB}$=$\frac{1}{2}$時，EF=$\frac{1}{2}$BC，AG=$\frac{1}{2}$AD，則DG=$\frac{1}{2}$AD，
T₁=$\frac{1}{2}$×EF×DG=$\frac{1}{4}$S，
當$\frac{AE}{AB}$=$\frac{1}{3}$時，EF=$\frac{1}{3}$BC，AG=$\frac{1}{3}$AD，則DG=$\frac{2}{3}$AD，
T₂₌$\frac{1}{2}$×EF×DG=$\frac{2}{9}$S，
當$\frac{AE}{AB}$=$\frac{3}{4}$時，EF=$\frac{3}{4}$BC，AG=$\frac{3}{4}$AD，則DG=$\frac{1}{4}$AD，
T₃=$\frac{1}{2}$×EF×DG=$\frac{3}{16}$S；
②T₃的求解過程見①；
（2）T₁，T₂，T₃中的最大值是所有滿足條件的△EFP（P與B或C不一定重合）的面積的最大值，理由如下：
設$\frac{AE}{AB}$=x時，EF=xBC，AG=xAD，則DG=AD-xAD，
T=$\frac{1}{2}$×EF×DG=$\frac{1}{2}$×xBC×（AD-xAD）=（-x²+x）S，
當x=$\frac{1}{2}$時，T有最大值$\frac{1}{4}$S，
所以T₁，T₂，T₃中的最大值是所有滿足條件的△EFP（P與B或C不一定重合）的面積的最大值．

點評 本題考查的是相似三角形的判定和性質、二次函數的性質，掌握相似三角形的判定定理和性質定理以及二次函數的性質的應用是解題的關鍵．