Question

4．如圖，已知⊙O的半徑為2，AB為直徑，CD為弦．AB與CD交于點(diǎn)M，將$\widehat{CD}$沿著CD翻折后，點(diǎn)A與圓心O重合，延長(zhǎng)OA至P，使AP=OA，鏈接PC．
（1）求CD的長(zhǎng)；
（2）求證：PC是⊙O的切線；
（3）點(diǎn)G為$\widehat{ADB}$的中點(diǎn)，在PC延長(zhǎng)線上有一動(dòng)點(diǎn)Q，連接QG交AB于點(diǎn)E，交$\widehat{BC}$于點(diǎn)F（F與B、C不重合）．問GE?GF是否為定值？如果是，求出該定值；如果不是，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）連接OC，根據(jù)翻折的性質(zhì)求出OM，CD⊥OA，再利用勾股定理列式求解即可；
（2）利用勾股定理列式求出PC，然后利用勾股定理逆定理求出∠PCO=90°，再根據(jù)圓的切線的定義證明即可；
（3）連接GA、AF、GB，根據(jù)等弧所對(duì)的圓周角相等可得∠BAG=∠AFG，然后根據(jù)兩組角對(duì)應(yīng)相等兩三角相似求出△AGE和△FGA相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可得$\frac{AG}{GE}$=$\frac{FG}{AG}$，從而得到GE•GF=AG²，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求解即可．

解答 （1）解：如圖，連接OC，
∵$\widehat{CD}$沿CD翻折后，點(diǎn)A與圓心O重合，
∴OM=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{1}{2}$×2=1，CD⊥OA，
∵OC=2，
∴CD=2CM=2$\sqrt{O{C}^{2}-O{M}^{2}}$=2$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=2$\sqrt{3}$；

（2）證明：∵PA=OA=2，AM=OM=1，CM=$\frac{1}{2}$CD=$\sqrt{3}$，∠CMP=∠OMC=90°，
∴PC=$\sqrt{M{C}^{2}+P{M}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+{3}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∵OC=2，PO=2+2=4，
∴PC²+OC²=（2$\sqrt{3}$）²+2²=16=PO²，
∴∠PCO=90°，
∴PC是⊙O的切線；

（3）解：GE•GF是定值，證明如下，
連接GO并延長(zhǎng)，交⊙O于點(diǎn)H，連接HF
∵點(diǎn)G為$\widehat{ADB}$的中點(diǎn)
∴∠GOE=90°，
∵∠HFG=90°，且∠OGE=∠FGH
∴△OGE∽△FGH
∴$\frac{OG}{GF}$=$\frac{GE}{GH}$
∴GE•GF=OG•GH=2×4=8．

點(diǎn)評(píng) 本題是圓的綜合題型，主要利用了翻折變換的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，勾股定理逆定理，圓的切線的定義，相似三角形的判定與性質(zhì)，難點(diǎn)在于（3）作輔助線構(gòu)造出相似三角形．