Question

5．（1）【證法回顧】證明：三角形中位線定理．
已知：如圖1，DE是△ABC的中位線．
求證：DE∥BC，DE=$\frac{1}{2}$BC．
證明：添加輔助線：如圖1，在△ABC中，延長(zhǎng)DE （D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)）到點(diǎn)F，使得EF=DE，連接CF；請(qǐng)繼續(xù)完成證明過程：

（2）【問題解決】如圖2，在正方形ABCD中，E為AD的中點(diǎn)，G、F分別為AB、CD邊上的點(diǎn)，若AG=2，DF=3，∠GEF=90°，求GF的長(zhǎng)．
（3）【拓展研究】如圖3，在四邊形ABCD中，∠A=105°，∠D=120°，E為AD的中點(diǎn)，G、F分別為AB、CD邊上的點(diǎn)，若AG=3$\sqrt{2}$，DF=2，∠GEF=90°，求GF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）利用“邊角邊”證明△ADE和△CEF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AD=CF，然后判斷出四邊形BCFD是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得；
（2）先判斷出△AEG≌△DEH（ASA）進(jìn)而判斷出EF垂直平分GH，即可得出結(jié)論；
（3）先求出AG=HD=$3\sqrt{2}$，進(jìn)而判斷出△PDH為等腰直角三角形，再用勾股定理求出HF即可得出結(jié)論．

解答 （1）DE∥BC，DE=$\frac{1}{2}$BC，
證明：如圖，延長(zhǎng)DE 到點(diǎn)F，使得EF=DE，連接CF
在△ADE和△CFE中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=EC}\\{∠AED=∠CEF}\\{DE=EF}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CFE（SAS），
∴∠A=∠ECF，AD=CF，
∴CF∥AB，
又∵AD=BD，
∴CF=BD，
∴四邊形BCFD是平行四邊形，
∴DE∥BC，DE=$\frac{1}{2}$BC．
故答案為：DE∥BC，DE=$\frac{1}{2}$BC．

（2）如圖2，延長(zhǎng)GE、FD交于點(diǎn)H，
∵E為AD中點(diǎn)，
∴EA=ED，且∠A=∠EDH=90°，
在△AEG和△DEH中，$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠HDE}\\{EA=ED}\\{∠AEG=∠HED}\end{array}\right.$
∴△AEG≌△DEH（ASA），
∴AG=HD=2，EG=EH，
∵∠GEF=90°，
∴EF垂直平分GH，
∴GF=HF=DH+DF=2+3=5；

（3）如圖3，過點(diǎn)D作AB的平行線交GE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，過H作CD的垂線，垂足為P，連接HF，
同（1）可知△AEG≌△DEH，GF=HF，
∴∠A=∠HDE=105°，AG=HD=$3\sqrt{2}$，
∵∠ADC=120°，
∴∠HDF=360°-105°-120°=135°，
∴∠HDP=45°，
∴△PDH為等腰直角三角形，
∴PD=PH=3，
∴PF=PD+DF=3+2=5，
在Rt△HFP中，∠HPF=90°，HP=3，PF=5，
∴HF=$\sqrt{H{P}^{2}+F{P}^{2}}$═$\sqrt{34}$
∴GF=$\sqrt{34}$．

點(diǎn)評(píng) 此題是四邊形綜合題，主要考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，解（1）的關(guān)鍵是判斷出△ADE≌△CFE，解（2）的關(guān)鍵是判斷出EF垂直平分GH，解（3）的關(guān)鍵是作出輔助線，是一道比較典型的中考題．