Question

10．閱讀下文，尋找規(guī)律：
已知x≠1時，（1-x）（1+x）=1-x²，（1-x）（1+x+x²）=1-x³，（1-x）（1+x+x²+x³）=1-x⁴…
（1）填空：（1-x）（1+x+x²+x³+x⁴）=1-x⁵．
（2）觀察上式，并猜想：
①（1-x）（1+x+x²+…+xⁿ）=1-xⁿ⁺¹．
②（x-1）（x¹⁰+x⁹+…+x+1）=x¹¹-1．
（3）根據(jù)你的猜想，計算：
①（1-2）（1+2+2²+2³+2⁴+2⁵）=1-2⁶．
②1+3+3²+3³+3⁴…3²⁰¹⁶=$\frac{{{3^{2017}}-1}}{2}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)規(guī)律即可得到結論；
（2）根據(jù)規(guī)律即可得到結論；
（3）①先設S=1+2+2²+2³+2⁴+2⁵，再將等式的兩邊同時乘以2，將兩式相減即可；②首先根據(jù)已知設S=1+3+3²+3³+…+3²⁰¹⁵+3²⁰¹⁶，①再將其兩邊同乘3得到關系式②，②-①即可求得答案．

解答 解：（1）（1-x）（1+x+x²+x³+x⁴）=1-x⁵．
故答案為：1+x+x²+x³+x⁴；
（2）①（1-x）（1+x+x²+…+xⁿ）=1-xⁿ⁺¹；
②（x-1）（x¹⁰+x⁹+…+x+1）=x¹¹-1；
故答案為：1-xⁿ⁺¹；x¹¹-1；
（3）①解：設S=1+2+2²+2³+2⁴+2⁵①，
將等式兩邊同時乘以2得：2S=2+2²+2³+2⁴+2⁵+2⁶②，
②-①得，2S-S=2⁶-1，即S=2⁶-1，
即1+2+2²+2³+2⁴+2⁵=2⁶-1．
設S=1+3+3²+3³+…+3²⁰¹⁵+3²⁰¹⁶，①
①×3得3S=3+3²+3³+3…3²⁰¹⁶+3²⁰¹⁷，②
②-①得：2s=3²⁰¹⁷-1，S=$\frac{{3}^{2017}-1}{2}$．
故答案為：2⁶-1，$\frac{{{3^{2017}}-1}}{2}$．

點評 本題考查了有理數(shù)的乘方，讀懂題目信息，理解求和的運算方法是解題的關鍵．