Question

20．探究函數(shù)y=x+$\frac{9}{x}$的圖象與性質(zhì)
（1）函數(shù)y=x+$\frac{9}{x}$的自變量x的取值范圍是x≠0；
（2）下列四個(gè)函數(shù)圖象中，函數(shù)y=x+$\frac{9}{x}$的圖象大致是C；
（3）對(duì)于函數(shù)y=x+$\frac{9}{x}$，求當(dāng)x＞0時(shí)，y的取值范圍．
請(qǐng)將下面求解此問(wèn)題的過(guò)程補(bǔ)充完整：
解：∵x＞0，
∴y=x+$\frac{9}{x}$=（$\sqrt{x}$）²+（$\frac{3}{\sqrt{x}}$）²=（$\sqrt{x}$-$\frac{3}{\sqrt{x}}$）²+6．
∵（$\sqrt{x}$-$\frac{3}{\sqrt{x}}$）²≥0，
∴y≥6
（4）若函數(shù)y=$\frac{{{x^2}-4x+9}}{x}$，則y的取值范圍是y≤-10或y≧2．

Answer 1

分析 （1）由分母不為0可得；
（2）由x≠0排除A，由y=$\frac{{x}^{2}+9}{x}$且x²+9＞0知當(dāng)x＜0時(shí)y＜0；當(dāng)x＞0時(shí)y＞0可得答案；
（3）利用二次函數(shù)的配方法求解可得；
（4）分x＞0和x＜0仿照（3）中方法求解可得．

解答 解：（1）函數(shù)y=x+$\frac{9}{x}$的自變量x的取值范圍是x≠0，
故答案為：x≠0．

（2）∵x≠0，
∴函數(shù)圖象與y軸無(wú)交點(diǎn)，A選項(xiàng)排除；
∵y=$\frac{{x}^{2}+9}{x}$，且x²+9＞0，
∴當(dāng)x＜0時(shí)，y＜0；當(dāng)x＞0時(shí)，y＞0；
∴符合題意得函數(shù)圖象為C選項(xiàng)；
故選：C．

（3）∵x＞0，
∴y=x+$\frac{9}{x}$=（$\sqrt{x}$）²+（$\frac{3}{\sqrt{x}}$）²=（$\sqrt{x}$-$\frac{3}{\sqrt{x}}$）²+6．
∵（$\sqrt{x}$-$\frac{3}{\sqrt{x}}$）²≥0，
∴y≥6，
故答案為：6，≥6；

（4）$y=\frac{{{x^2}-4x+9}}{x}$=$x+\frac{9}{x}-4$，
當(dāng)x＞0時(shí)，∵$x+\frac{9}{x}≥6$，
∴y≧2
當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0，-$\frac{9}{x}＞0$，-x-$\frac{9}{x}$=${（\sqrt{-x}）^2}+{（\sqrt{-\frac{9}{x}}）^2}$，
由（3）得，-x-$\frac{9}{x}$≧6，
所以$x+\frac{9}{x}≤-6$，
所以y≤-10，
y的取值范圍是y≤-10或y≧2，
故答案為：y≤-10或y≧2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，會(huì)用描點(diǎn)法畫(huà)出函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合的思想寫(xiě)出函數(shù)的性質(zhì)及二次函數(shù)的最值求法是解題的關(guān)鍵．