Question

4．如圖1，正方形ABCD的邊長為12cm，點P在正方形的邊上從A→B→C以4cm/s的速度運動，同時點Q在正方形的邊上從C→D以1cm/s的速度運動，設(shè)運動時間為t秒（0＜t≤6）．

（1）當(dāng)PQ∥BD時，求t的值；
（2）如圖2，當(dāng)點P在BC邊上時，連接PA交BD于點E，連接CE，若DP⊥CE，求t的值；
（3）當(dāng)點A到PQ所在直線的距離為12cm時，求出t的值．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)PQ∥BD時，則BP=DQ，根據(jù)題意得出方程，解方程即可；
（2）延長CE交AB于F，由正方形的性質(zhì)得出∠BAD=∠BCD=∠ABC=90°，AB=BC=CD，∠ABE=∠CBE=45°，由AAS證明△CDP≌△BCF，得出CP=BF，由SAS證明△ABE≌△CBE，得出∠4=∠2，再由ASA證明△ABP≌△CBF，得出BP=BF，得出方程，解方程即可；
（3）當(dāng)點A到PQ所在直線的距離為12cm時，則PQ在CD上，即P點與C點重合，即可求出t的值．

解答 解：（1）當(dāng)PQ∥BD時，如圖1所示：
則BP=DQ，
根據(jù)題意得：CQ=t，DQ=12-t，BP=4t-12，
∴4t-12=12-t，
解得：t=$\frac{24}{5}$；
（2）延長CE交AB于F，如圖2所示：
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠BCD=∠ABC=90°，AB=BC=CD，∠ABE=∠CBE=45°，
∴∠1+∠2=90°，
∵DP⊥CE，
∴∠CGD=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠3=∠2，
在△CDP和△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PCD=∠FBC}&{\;}\\{∠3=∠2}&{\;}\\{CD=BC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△CDP≌△BCF（AAS），
∴CP=BF，
∵BP=4t-12，
∴BF=CP=12-（4t-12）=24-4t，
在△ABE和△CBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CB}&{\;}\\{∠ABE=∠CBE}&{\;}\\{BE=BE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴∠4=∠2，
在△ABP和△CBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠4=∠2}&{\;}\\{AB=CB}&{\;}\\{∠ABP=∠CBF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△CBF（ASA），
∴BP=BF，
即4t-12=24-4t，
解得：t=$\frac{9}{2}$；
即若DP⊥CE，t的值為$\frac{9}{2}$；
（3）當(dāng)點A到PQ所在直線的距離為12cm時，如圖3所示：
則PQ在CD上，
即P點與C點重合，
t=（AB+BC）÷4=24÷4=6（s）．

點評 本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、解方程等知識；本題綜合性強，難度較大，特別是（2）中，需要三次證明三角形全等才能得出結(jié)果．