Question

6．閱讀下面材料：
小胖遇到這樣一個問題：
如圖所示，在四邊形ABDE中，AE∥BD，∠B=45°，點C為BD中點，且AC⊥BD．過點E作EF⊥DE，交AB于點F．圖中是否存在與EF相等的線段？若存在，請找出并加以證明，若不存在，說明理由．
小胖通過探究發(fā)現(xiàn)，他所構(gòu)造的全等三角形，其實就是將△AEF繞平面內(nèi)某一點順時針旋轉(zhuǎn)90°，且點E的對應(yīng)點為點D．
（1）小胖發(fā)現(xiàn)的與EF相等的線段是ED；
（2）根據(jù)小胖的想法，在圖中補充相應(yīng)的輔助線，進而證明小胖發(fā)現(xiàn)的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）由全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
（2）連接AD，作EM⊥AE，交AD于M，由線段垂直平分線的性質(zhì)得出AB=AD，證出△AEM是等腰直角三角形，得出AE=ME，∠EAM=∠AME=45°，證出∠AEF=∠MED，由ASA證明△EAF≌△EMD，得出對應(yīng)邊相等即可．

解答 解：（1）小胖發(fā)現(xiàn)的與EF相等的線段是ED；
故答案為：ED；
（2）連接AD，作EM⊥AE，交AD于M，如圖所示：
則∠AEM=90°，
∵AC⊥BD，點C為BD中點，
∴AB=AD，
∴∠ADB=∠B=45°，
∴∠BAD=90°，
∵AE∥BD，
∴∠EAM=∠ADB=45°，
∴△AEM是等腰直角三角形，
∴AE=ME，∠EAM=∠AME=45°，
∴∠EAF=90°+45°=135°=∠EMD，
又∵EF⊥ED，
∴∠DEF=90°，
∴∠AEF=∠MED，
在△EAF和△EMD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEF=∠MED}&{\;}\\{AE=ME}&{\;}\\{∠EAF=∠EMD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△EAF≌△EMD（ASA），
∴EF=ED．

點評 本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識；熟練掌握等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．