Question

13．已知x₁，x₂是一元二次方程4kx²-4kx+k+1=0的兩個(gè)實(shí)根．
（1）是否存在實(shí)數(shù)k，使得x₁=3x₂成立？若存在，求出k的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
（2）求使$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$+$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$-2的值為整數(shù)的實(shí)數(shù)k的整數(shù)值．

Answer 1

分析 （1）假設(shè)存在實(shí)數(shù)k，使得x₁=3x₂，根據(jù)根的判別式可得出△=-16k，進(jìn)而可得出k≤0以及x₁、x₂的值，再根據(jù)x₁=3x₂即可得出關(guān)于k的分式方程，解方程并檢驗(yàn)后即可得出結(jié)論；
（2）由根與系數(shù)的關(guān)系可得出x₁+x₂=-$\frac{-4k}{4k}$=1、x₁•x₂=$\frac{k+1}{4k}$，將$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$+$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$-2變形為$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}•{x}_{2}}{{x}_{1}•{x}_{2}}$-2，代入數(shù)據(jù)可得-$\frac{4}{k+1}$，根據(jù)$\frac{4}{k+1}$為整數(shù)以及k≤0即可找出k的值，再由分母不能為0即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）假設(shè)存在實(shí)數(shù)k，使得x₁=3x₂，
在方程4kx²-4kx+k+1=0中，△=（-4k）²-4×4k×（k+1）=-16k，
∴k≤0，
∴x₁=$\frac{4k+\sqrt{-16k}}{8k}$，x₂=$\frac{4k-\sqrt{-16k}}{8k}$．
∵x₁=3x₂，
∴$\frac{4k-\sqrt{-16k}}{8k}$=3×$\frac{4k+\sqrt{-16k}}{8k}$，
解得：k₁=-4，k₂=0．
經(jīng)檢驗(yàn)k=-4是方程$\frac{4k-\sqrt{-16k}}{8k}$=3×$\frac{4k+\sqrt{-16k}}{8k}$的解．
故當(dāng)k=-4時(shí)，x₁=3x₂．
（2）∵x₁，x₂是一元二次方程4kx²-4kx+k+1=0的兩個(gè)實(shí)根，
∴x₁+x₂=-$\frac{-4k}{4k}$=1，x₁•x₂=$\frac{k+1}{4k}$，
∴$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$+$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$-2=$\frac{{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}}{{x}_{1}•{x}_{2}}$-2=$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}•{x}_{2}}{{x}_{1}•{x}_{2}}$-2=$\frac{1}{\frac{k+1}{4k}}$-4=-$\frac{4}{k+1}$，
∵$\frac{4}{k+1}$為整數(shù)，且k≤0，
∴k=-5，-3，-2，0．
∵x₁+x₂=-$\frac{-4k}{4k}$=1，x₁•x₂=$\frac{k+1}{4k}$，
∴k≠0．
∴使$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$+$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$-2的值為整數(shù)的實(shí)數(shù)k的整數(shù)值為-5、-3或-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系以及解分式方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系以及求根公式找出關(guān)于k的方程是解題的關(guān)鍵．