Question

19．已知△ABC中，角A，B，C所對的邊為a，b，c，外接圓的半徑為R，證明：$\frac{a}{sinA}$=$\frac{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=2R．

Answer 1

分析 作輔助線過點O作OD⊥BC于點D，連接OB，OC，利用圓周角與圓心角的關(guān)系及三角形的外心可得∠BOD=∠A，利用BD=R×sinA，即$\frac{a}{sinA}$=2R，同理可證明$\frac{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=2R，從而得出結(jié)論．

解答 證明：如圖，點O為三角形外接圓的圓心，過點O作OD⊥BC于點D，連接OB，OC，

∵點O是△ABC的外心，OD⊥BC，
∴∠BOD=∠COD，
∵∠BOC=2∠A，
∴∠BOD=∠A，
∵OB=2R，
∴BD=R×sinA，即$\frac{1}{2}$a=R×sinA，
∴$\frac{a}{sinA}$=2R，
同理可得$\frac{sinB}$=2R，$\frac{c}{sinC}$=2R，
∴$\frac{a}{sinA}$=$\frac{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=2R．

點評 本題主要考查了正弦定理，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線利用直角三角形求解．