Question

12．已知：如圖，菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，且AC=12cm，BD=16cm．現有P、Q兩動點同時出發(fā)，獨立運動．點P從點B出發(fā)，沿B→C→D方向勻速運動，速度為1cm/s，到點D停止；點Q從點D出發(fā)，沿DB方向勻速運動，速度為1cm/s，到點B停止．連接AP、AQ、PQ，設運動時間為r（s）．解答下列問題：
（1）填空：AB=10cm，AB與CD之間的距離為9.6cm；
（2）在整個運動過程中，當PQ與菱形ABCD一邊平行時，求t的值；
（3）當t≥10時，設△APQ的面積為y（cm²），求y與t之間的函數關系式．

Answer 1

分析 （1）根據勾股定理求出AB的長，根據菱形的面積公式求出AB與CD之間的距離；
（2）從PQ∥CD和PQ∥AD兩種情況進行分析，根據相似三角形的性質進行解答；
（3）用t表示出DQ、DP、PE的長，根據y=△ADQ的面積+△PDQ的面積-△ADP的面積列式即可．

解答 解：（1）由菱形的性質可知，AC⊥BD，OB=$\frac{1}{2}$BD=8，OA=$\frac{1}{2}$AC=6，
由勾股定理得，AB=10，
設AB與CD之間的距離為h，
則$\frac{1}{2}$×12×18=AB×h，
解得h=9.6．
（2）當PQ∥CD時，$\frac{BP}{PC}$=$\frac{BQ}{DQ}$，
即$\frac{t}{10-t}$=$\frac{16-t}{t}$，
解得，t=$\frac{80}{13}$；
當PQ∥AD時，$\frac{DP}{CP}$=$\frac{DQ}{BQ}$，
即$\frac{20-t}{t-10}$=$\frac{t}{16-t}$，
解得，t=$\frac{160}{13}$；
（3）作PE⊥BD于點E，
則DQ=t，DP=20-t，PE=$\frac{3}{5}$（20-t），
當10≤t≤16時，
y═△ADQ的面積+△PDQ的面積-△ADP的面積
=$\frac{1}{2}$•DQ•AO+$\frac{1}{2}$•DQ•PE-$\frac{1}{2}$DP×9.6
=$\frac{1}{2}$×t×6+$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{5}$（20-t）×t-$\frac{1}{2}$（20-t）×9.6
=-$\frac{3}{10}$t²+$\frac{69}{5}$t-96，
當16＜t≤20時，y=$\frac{1}{2}$×10×9.6=48．

點評 本題考查的是菱形的性質，掌握菱形的對角線互相垂直和菱形的面積的兩種求法是解題的關鍵，注意全等三角形的性質和相似三角形的性質的運用．