Question

3．如圖，直線l：y=$\frac{3}{4}x+$3交x、y軸分別為A、B兩點，C點與A點關(guān)于y軸對稱．動點P、Q分別在線段AC、AB上（點P不與點A、C重合），滿足∠BPQ=∠BAO．
（1）點A坐標(biāo)是（-4，0），點B的坐標(biāo)（0，3），BC=5．
（2）當(dāng)點P在什么位置時，△APQ≌△CBP，說明理由．
（3）當(dāng)△PQB為等腰三角形時，求點P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）對于直線l解析式，分別令x與y為0求出y與x的值，確定出A與B的坐標(biāo)，根據(jù)A與C關(guān)于y軸對稱確定出C坐標(biāo)，利用勾股定理求出BC的長即可；
（2）由三角形APQ與三角形CBP全等，利用全等三角形對應(yīng)邊相等得到PQ=BC=5，由AP-OA=OP，求出OP的長，確定出P坐標(biāo)即可；
（3）分三種情況考慮：當(dāng)PQ=PB時，由（2）確定出此時P的坐標(biāo)；當(dāng)BQ=BP時，利用外角性質(zhì)判斷不可能；當(dāng)BQ=PQ時，求出此時P的坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）對于直線l：y=$\frac{3}{4}$x+3，
令x=0，得到y(tǒng)=3；令y=0，得到x=-4，
∴A（-4，0），B（0，3），即OB=3，
∵A與C關(guān)于y軸對稱，
∴C（4，0），即OC=4，
則根據(jù)勾股定理得：BC=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5；
故答案為：（-4，0）；（0，3）；5；
（2）由△APQ≌△CBP，得到AP=BC=5，
∵A（-4，0），即OA=4，
∴OP=5-4=1，即P（1，0）；
（3）（i）當(dāng)PQ=PB時，△APQ≌△CBP，
由（2）知此時點P（1，0）；
（ii）當(dāng)BQ=BP時，∠BQP=∠BPQ，
∵∠BQP是△APQ的外角，
∴∠BQP＞∠BAP，
又∵∠BPQ=∠BAO，
∴這種情況不可能；
（iii）當(dāng)BQ=PQ時，∠QBP=∠QPB，
又∵∠BPQ=∠BAO，
∴∠QBP=∠BAO，
∴AP=4+x，BP=$\sqrt{{x}^{2}+{3}^{2}}$，
∴4+x=$\sqrt{{x}^{2}+9}$，
解得：x=-$\frac{7}{8}$．
此時點P的坐標(biāo)為：（-$\frac{7}{8}$，0）．
綜上，P的坐標(biāo)為（1，0），（-$\frac{7}{8}$，0）．

點評 此題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)與判定是解本題的關(guān)鍵．