Question

3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線AB：y=$\frac{2}{3}$x+4交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B．直線CD：y=-$\frac{1}{3}$x-1與直線AB相交于點(diǎn)M，交x軸于點(diǎn)C，交y軸于點(diǎn)D．
（1）直接寫出點(diǎn)B和點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)P是射線MD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是x，△PBM的面積是S，求S與x之間的函數(shù)關(guān)系；
（3）當(dāng)S=20時(shí)，平面直角坐標(biāo)系內(nèi)是否存在點(diǎn)E，使以點(diǎn)B、E、P、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用y軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可得出結(jié)論；
（2）先求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，再用三角形的面積之和即可得出結(jié)論；
（3）分三種情況利用對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形和線段的中點(diǎn)坐標(biāo)的確定方法即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵點(diǎn)B是直線AB：y=$\frac{2}{3}$x+4與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，
∴B（0，4），
∵點(diǎn)D是直線CD：y=-$\frac{1}{3}$x-1與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，
∴D（0，-1）；


（2）如圖1，∵直線AB與CD相交于M，
∴M（-5，$\frac{2}{3}$），
∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，
∴點(diǎn)P（x，-$\frac{1}{3}$x-1），
∵B（0，4），D（0，-1），
∴BD=5，
∵點(diǎn)P在射線MD上，即：x≥0時(shí)，
S=S_△BDM+S_△BDP=$\frac{1}{2}$×5（5+x）=$\frac{5}{2}$x+$\frac{25}{2}$，

（3）如圖，由（1）知，S=$\frac{5}{2}$x+$\frac{25}{2}$，
當(dāng)S=20時(shí)，$\frac{5}{2}$x+$\frac{25}{2}$=20，
∴x=3，
∴P（3，-2），
①當(dāng)BP是對(duì)角線時(shí)，取BP的中點(diǎn)G，連接MG并延長(zhǎng)取一點(diǎn)E'使GE'=GE，
設(shè)E'（m，n），
∵B（0，4），P（3，-2），
∴BP的中點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，1），
∵M(jìn)（-5，$\frac{2}{3}$），
∴$\frac{-5+m}{2}$=$\frac{3}{2}$，$\frac{\frac{2}{3}+n}{2}$=1，
∴m=8，n=$\frac{4}{3}$，
∴E'（8，$\frac{4}{3}$），
②當(dāng)AB為對(duì)角線時(shí)，同①的方法得，E（-9，6），
③當(dāng)MP為對(duì)角線時(shí)，同①的方法得，E''（-2，-$\frac{16}{3}$），
即：滿足條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)為（8，$\frac{4}{3}$）、（-9，6）、（-2，-$\frac{16}{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 此題是一次函數(shù)綜合題，主要考查了三角形的面積的計(jì)算方法，平行四邊形的性質(zhì)，解（2）掌握三角形的面積的計(jì)算方法，解（3）的關(guān)鍵是分類討論的思想解決問題．