Question

20．如圖，已知BO⊥PO，AB是⊙O上弦，點(diǎn)C是⊙O上的動(dòng)點(diǎn)，∠CBA=∠ACP．
（1）求證：PC與⊙O相切；
（2）若點(diǎn)A是PO的中點(diǎn)，⊙O的半徑是2，求四邊形OACB的面積．

Answer 1

分析 （1）先求得∠OAC=∠OCA，從而根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出2∠OCA+∠AOC=180°，進(jìn)而得出$∠OCA+\frac{1}{2}∠AOC$=90°，由∠CBA=∠ACP，$∠CBA=\frac{1}{2}∠AOC$，得出∠OCA+∠ACP=90°，即可證得結(jié)論；
（2）根據(jù)已知求得三角形AOC是等邊三角形，進(jìn)而得出∠BOC=30°，作CD⊥OP，BE⊥OC，通過(guò)解直角三角形求得CD、BE，然后根據(jù)S_{四邊形OACB}=S_△AOC+S_△BOC即可求得．

解答 解：（1）∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵∠OAC+∠OCA+∠AOC=180°，
∴2∠OCA+∠AOC=180°，
∴$∠OCA+\frac{1}{2}∠AOC$=90°，
∵∠CBA=∠ACP，$∠CBA=\frac{1}{2}∠AOC$，
∴∠OCA+∠ACP=90°，
∴OC⊥PC，
∴PC與⊙O相切；
（2）∵∠PCO=90°，點(diǎn)A是PO的中點(diǎn)，
∴AC=OC=PA，
∵OC=OA，
∴△AOC是等邊三角形，
∴∠AOC=60°，
∵BO⊥PO，
∴∠BOC=30°，
作CD⊥OP，BE⊥OC，
∴CD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OC=$\sqrt{3}$，BE=$\frac{1}{2}$OB=1，
∴S_{四邊形OACB}=S_△AOC+S_△BOC=$\frac{1}{2}$OA•CD+$\frac{1}{2}$OC•BE=$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{3}$+$\frac{1}{2}$×2×1=$\sqrt{3}$+1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，切線的判定，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等，作出輔助線，求得三角形的高CD、BE是解題的關(guān)鍵．