Question

10．如圖，在一張長為5，寬為4的矩形紙片上，現(xiàn)要剪下一個(gè)腰長為3的等腰三角形（要求：等腰三角形的一個(gè)頂點(diǎn)與矩形的一個(gè)頂點(diǎn)重合，其余的兩個(gè)頂點(diǎn)在矩形的邊上），則剪下的等腰三角形的面積為$\frac{9}{2}$或2$\sqrt{2}$或$\frac{3}{2}$$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 因?yàn)榈妊�三角形腰的位置不明確，所以分（1）腰長在矩形相鄰的兩邊上，（2）一腰在矩形的寬上，（3）一腰在矩形的長上，三種情況討論．（1）△AEF為等腰直角三角形，直接利用面積公式求解即可；（2）先利用勾股定理求出AE邊上的高BF，再代入面積公式求解；（3）先求出AE邊上的高DF，再代入面積公式求解．

解答 解：分三種情況計(jì)算：
（1）當(dāng)AE=AF=3時(shí)，如圖：

∴S_△AEF=$\frac{1}{2}$AE•AF=$\frac{1}{2}$×3×3=$\frac{9}{2}$；
（2）當(dāng)AE=EF=3時(shí)，如圖：

則BE=4-3=1，
BF=$\sqrt{E{F}^{2}-B{E}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}-{1}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴S_△AEF=$\frac{1}{2}$•AE•BF=$\frac{1}{2}$×3×2$\sqrt{2}$=3$\sqrt{2}$；
（3）當(dāng)AE=EF=3時(shí)，如圖：

則DE=5-3=2，
DF=$\sqrt{E{F}^{2}-D{E}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}-{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴S_△AEF=$\frac{1}{2}$AE•DF=$\frac{1}{2}×$3×$\sqrt{5}$=$\frac{3}{2}$$\sqrt{5}$，
故答案為：$\frac{9}{2}$或3$\sqrt{2}$或$\frac{3}{2}$$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評 本題主要考查矩形的角是直角的性質(zhì)和勾股定理的運(yùn)用，要根據(jù)三角形的腰長的不確定分情況討論，有一定的難度．