Question

2．如圖，四邊形ABCD中，BC∥AD，BC=AB，∠BAD=90°，∠D=45°，E是BC上一點(diǎn)，F(xiàn)是CD上一點(diǎn)，
（1）若EF⊥AE，求證：AE=EF．
（2）若AE=EF，求證：EF⊥AE．

Answer 1

分析 （1）在BA上截取BG=BE，先證明∠EGA=∠FCE，AG=CE，∠CEF=∠GAE，進(jìn)而判定△AGE≌△ECF（ASA），最后得出結(jié)論AE=EF；
（2）在BA上截取BP=BE，作AM⊥EP于M，延長PE交FC的延長線于N．先證明△APM≌△CEN，推出AM=EN，再證明△AEM≌△EFN，推出∠AEM=∠EFN，由∠EFN+∠FEN=90°，推出∠AEM+∠FEN=90°，由此即可解得出結(jié)論．

解答 證明：（1）如圖1，取BG=BE，連結(jié)GE．
∵∠BAD=90°，BE=BG，
∴∠BGE=45°，
∴∠EGA=135°，
∵BC∥AD，
∴∠D+∠FCE=180°，
∴∠FCE=135°，
∴∠EGA=∠FCE=135°，
∵EF⊥AE，
∴∠AEF=90°，
∴∠CEF+∠AEB=90°，
又∵∠AEB+∠EAB=90°，
∴∠CEF=∠GAE，
∵BA=BC，BE=BG，
∴AG=EC，
在△AGE和△ECF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EGA=∠FCE=135°}\\{AG=EC}\\{∠CEF=∠GAE}\end{array}\right.$，
∴△AGE≌△ECF（ASA），
∴AE=EF．
（2）如圖，在BA上截取BP=BE，作AM⊥EP于M，延長PE交FC的延長線于N．
∵AB=BC，∠B=90°，
∴∠BPE=∠BEP=45°，AP=EC，
∵∠D=45°，BC∥AD，
∴∠ECN=45°，
∵∠PEB=∠CEN=45°，
∴∠N=90°=∠M，∠APM=∠BPE=45°，
在△APM和△ECN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠M=∠N=90°\\;}\\{∠APM=∠CEN}\\{AP=EC}\end{array}\right.$，
∴△APM≌△CEN（AAS），
∴AM=CN=EN，
在Rt△AEM和Rt△EFN中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=EF\\;}\\{AM=EN}\end{array}\right.$，
∴Rt△AEM≌Rt△EFN（HL），
∴∠AEM=∠EFN，
∵∠EFN+∠FEN=90°，
∴∠AEM+∠FEN=90°，
∴∠AEF=90°，
即EF⊥AE．

點(diǎn)評 本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸�條件，必要時添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形．