Question

6．已知：如圖，在△ABC中，DE∥BC，AD²=AE•AC，求證：
（1）△BCD∽△CDE；
（2）$\frac{C{D}^{2}}{B{C}^{2}}$=$\frac{AD}{AB}$．

Answer 1

分析 （1）由AD²=AE•AC，易證得△ADC∽△AED，即可得∠ACD=∠ADE，又由DE∥BC，易證得∠ECD=∠B，則可證得△BCD∽△CDE；
（2）由△BCD∽△CDE，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可得$\frac{CD}{BC}$=$\frac{DE}{CD}$，又由DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，即可得$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$，繼而得到結(jié)論．

解答 證明：（1）∵AD²=AE•AC，
∴$\frac{AD}{AE}=\frac{AC}{AD}$，
∵∠A是公共角，
∴△ADC∽△AED，
∴∠ACD=∠ADE，
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，∠BCD=∠CDE，
∴∠ECD=∠B，
∴△BCD∽△CDE；

（2）∵△BCD∽△CDE，
∴$\frac{CD}{BC}$=$\frac{DE}{CD}$，
∴DE=$\frac{C{D}^{2}}{BC}$，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$，
∴$\frac{C{D}^{2}}{B{C}^{2}}$=$\frac{AD}{AB}$．

點評 此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．