Question

14．如圖1，已知拋物線F₁：y=x²-2x+2與y軸交于點(diǎn)A，頂點(diǎn)為B，拋物線F₂：y=x²+ax+b的頂點(diǎn)為D在線段AB的延長(zhǎng)線上（不包括B點(diǎn)），兩拋物線相交于點(diǎn)C．
（1）①若a=-4，求b的值；
②請(qǐng)用含a的式子表達(dá)b為b=$\frac{{a}^{2}+2a+8}{4}$；
（2）如圖1，若∠ACD=90°，求a的值；
（3）如圖2，若拋物線F₂與直線AB另一個(gè)交點(diǎn)為E，連接CE，若△CDE的面積不小于3，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)函數(shù)值與自變量的關(guān)系，可得A，B點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式，可得D點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)直線上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足函數(shù)解析式，可得答案；
②根據(jù)直線上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足函數(shù)解析式，可得答案；
（2）根據(jù)聯(lián)立直線與拋物線，可解得點(diǎn)C坐標(biāo)，根據(jù)互相垂直的兩條直線的斜率的乘積為-1，可得答案；
（3）根據(jù)聯(lián)立兩拋物線，可得E點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，可得CE的長(zhǎng)，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離，可得h的長(zhǎng)，根據(jù)三角形的面積公式，可得不等式，根據(jù)解不等式，可得答案．

解答 解：（1）①當(dāng)x=0時(shí)，y=2，即A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），
y=x²-2x+2的定點(diǎn)坐標(biāo)為B（1，1）．
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，將A、B點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{k+b=1}\\{b=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
直線AB的解析式為y=-x+2．
y=x²+ax+b=（x+$\frac{a}{2}$）²+$\frac{4b-{a}^{2}}{4}$，頂點(diǎn)為（-$\frac{a}{2}$，$\frac{4b-{a}^{2}}{4}$）．
頂點(diǎn)坐標(biāo)在y=-x+2上，得
$\frac{4b-{a}^{2}}{4}$=$\frac{a}{2}$+2，
b=$\frac{{a}^{2}+2a+8}{4}$．
當(dāng)a=-4時(shí)，b=$\frac{（-4）^{2}+（-4）×2+8}{4}$=4；
②頂點(diǎn)坐標(biāo)在y=-x+2上，得
$\frac{4b-{a}^{2}}{4}$=$\frac{a}{2}$+2
b=$\frac{{a}^{2}+2a+8}{4}$，
故答案為：b=$\frac{{a}^{2}+2a+8}{4}$；

（2）D點(diǎn)坐標(biāo)為（-$\frac{a}{2}$，$\frac{a}{2}$+2），
F₂：y=x²+ax+$\frac{{a}^{2}+2a+8}{4}$
與y=x²-2x+2聯(lián)立，化簡(jiǎn)，得
（a+2）x=-$\frac{a（a+2）}{4}$，
x=-$\frac{a}{4}$  （這里舍去a=-2，否則兩個(gè)拋物線是上下平移的關(guān)系），
C（-$\frac{a}{4}$，$\frac{{a}^{2}}{16}$+$\frac{a}{2}$+2）．
k_AC=$\frac{\frac{{a}^{2}}{16}+\frac{a}{2}+2-2}{-\frac{a}{4}-0}$=-$\frac{a+8}{4}$，
k_CD=$\frac{\frac{{a}^{2}}{16}+\frac{a}{2}+2-\frac{a}{2}-2}{-\frac{a}{4}+\frac{a}{2}}$=$\frac{4}{a}$，
∵k_AC•k_CD=-1，
∴a=-4（1+$\sqrt{2}$），a=4（$\sqrt{2}$-1）（不符合題意要舍去）；
（3）F₂：y=x²+ax+$\frac{{a}^{2}+2a+8}{4}$
與y=-x+2聯(lián)立，化簡(jiǎn)，得
4x²+4（a+1）x+a（a+2）=0，因式分解，得
（2x+a）（2x+a+2）=0，
x=-$\frac{a+2}{2}$，x=-$\frac{a}{2}$（為D的橫坐標(biāo)，要舍去），
E（-$\frac{a+2}{2}$，$\frac{a+6}{2}$）．
令C與AB的距離為h，
DE=$\sqrt{（-\frac{a}{2}+\frac{a+2}{2}）^{2}+（\frac{a}{2}+2-\frac{a+6}{2}）^{2}}$=$\sqrt{2}$，
h=$\frac{|-\frac{a}{4}+\frac{{a}^{2}}{16}+\frac{a}{2}+2-2|}{\sqrt{1+1}}$=$\frac{{a}^{2}+4a}{16\sqrt{2}}$，
S=$\frac{1}{2}$DE•h=$\frac{{a}^{2}+4a}{32}$≥3，
a²+4a-96=（a+12）（a-8）≥0，
解得a≥8或a≤-12．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合題，（1）利用了函數(shù)值與自變量的對(duì)應(yīng)關(guān)系，待定系數(shù)求函數(shù)解析式，利用了二次函數(shù)的定點(diǎn)坐標(biāo)公式，利用直線上的點(diǎn)滿足函數(shù)解析式得出a與b的關(guān)系是解題關(guān)鍵；（2）利用解方程組得出C點(diǎn)坐標(biāo)，利用互相垂直的兩條直線的斜率的乘積為-1是解題關(guān)鍵；（3）利用兩點(diǎn)間的距離得出CE的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．