Question

4．等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點(diǎn)D是斜邊AB上一點(diǎn)，以CD為直角邊作等腰Rt△CDE，其中∠DCE=90°，CD=CE，直線BC、DE交于點(diǎn)F．
（1）如圖1，若CD=DF，求證：AD=（$\sqrt{2}$-1）BD；
（2）如圖2，若BD=2AD，判斷DF與EF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；
（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在BA的延長線上時，若AB=kAD，則DF=（k+1）EF．（用含k的式子表示）

Answer 1

分析 （1）先利用等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理可以求得AB=$\sqrt{2}$BC，然后再根據(jù)CD=DF可得出∠CFD=∠DCF，進(jìn)而可得∠BDC=∠DCF，則有BC=BD，于是可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)各角之間的關(guān)系可證得△CEF∽△CAD，△BCD∽△DCF，則有$\frac{DF}{BD}=\frac{CE}{CA}，\frac{EF}{AD}=\frac{CD}{CB}$，再根據(jù)CE=CD，CA=CB，可得$\frac{DF}{BD}=\frac{EF}{AD}$，則可得出$\frac{EF}{DF}=\frac{1}{2}$；（3）首先證明△CAD∽△CEF，△BCA∽△ECA，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等即可證得$\frac{AD}{EF}=\frac{AB}{CD}$，從而求解．

解答 解：（1）∵等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC
∴根據(jù)勾股定理可得AB=$\sqrt{2}$BC，∠B=∠A=45°，
∵CD=DF，等腰Rt△CDE，
∴∠CFD=∠DCB，∠E=∠CDE=45°，
∵∠CFD=∠BDF+∠B=∠BDF+45°，∠CDB=∠BDF+∠CDE=∠BDF+45°，
∴∠CFD=∠CDB，
∴∠DCB=∠CDB，
∴BD=BC，
∴AD=AB-BD=$\sqrt{2}$BD-BD=（$\sqrt{2}$-1）BD；
（2）DF=2EF．
證明：∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACB-∠BCD=∠DCE-∠BCD，
∴∠ECB=∠ACD，
由（1）知∠B=∠A=∠E=∠CDE=45°，∠CFD=∠CDB，
∴△CEF∽△CAD，△BCD∽△DCF，
∴$\frac{DF}{BD}=\frac{CE}{CA}，\frac{EF}{AD}=\frac{CD}{CB}$，
∵CE=CD，CA=CB，
∴$\frac{DF}{BD}=\frac{EF}{AD}$
∴$\frac{DF}{EF}=\frac{BD}{AD}=\frac{1}{2}$
（3）解：∵△BCA和△ECD都是等腰直角三角形，
∴得∠FCE=∠ACD，∠CEF=∠CAD=135°，
∴△CAD∽△CEF
∴$\frac{AD}{EF}=\frac{CA}{CE}$
又∵△BCA∽△ECA，
∴$\frac{BA}{ED}=\frac{CA}{CD}=\frac{CA}{CE}$
∴$\frac{AD}{EF}=\frac{AB}{ED}$
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{EF}{DE}$
又∵AB=kAD，
∴DE=kEF，
∴DF=（k+1）EF．

點(diǎn)評 本題考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)，（3）中由相似三角形的對應(yīng)邊的比相等，再根據(jù)等量代換得到$\frac{AD}{EF}=\frac{AB}{ED}$是關(guān)鍵．