Question

3．如圖，若直線y=-x+6與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象交于A（1，m）與C（n，1）兩點(diǎn)，以線段AC為斜邊，在AC的兩側(cè)作等腰直角三角形ABC和ADC，其中∠B=∠D=90°，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊CD上，且DE=3EC，AE與CF相交于點(diǎn)G．
（1）求k的值；
（2）判斷四邊形ABCD是什么特殊的四邊形，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）求證：∠AGF=∠DCF；
（4）在反比例函y=$\frac{k}{x}$的圖象上找出一點(diǎn)M，使△AFM的面積與△AFG的面積相等，直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）求出A（1，5），得出k=5即可；
（2）由等腰直角三角形的性質(zhì)得出AB=BC=AD=CD，即可得出四邊形ABCD是正方形；
（3）取BC的中點(diǎn)M，連接AM、EM，證明△CEM∽△DFC，得出∠CME=∠DCF，同理：△CEM∽△BMA，得出$\frac{EM}{MA}=\frac{CM}{AB}$=$\frac{CE}{BM}$=$\frac{1}{2}$，∠CME=∠BAM，再證出△CEM∽△MEA，得出∠CME=∠MAE，證出∠MAE=∠DCF，證明四邊形AMCF是平行四邊形，由平行線的性質(zhì)得出∠AGF=∠MAE，即可得出結(jié)論；
（4）求出直線AE的解析式為y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{23}{4}$，同理：直線CF的解析式為y=-2x+11，解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{3}{4}x+\frac{23}{4}}\\{y=-2x+11}\end{array}\right.$得出G（$\frac{21}{5}$，$\frac{13}{5}$），過(guò)G作GM∥AD，交雙曲線y=$\frac{5}{x}$于M，則M的縱坐標(biāo)為$\frac{13}{5}$，由反比例函數(shù)解析式求出求出M的橫坐標(biāo)即可．

解答 （1）解：∵直線y=-x+6與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象交于A（1，m）與C（n，1）兩點(diǎn)，
∴m=-1+6=5，-n+6=1，
∴m=n=5，
∴A（1，5），
代入y=$\frac{k}{x}$得：k=1×5=5；
（2）解：四邊形ABCD是正方形，理由如下：
∵以線段AC為斜邊，在AC的兩側(cè)作等腰直角三角形ABC和ADC，∠B=∠D=90°，
∴B（1，1），AB=BC=AD=CD，
∴四邊形ABCD是正方形；
（3）證明：取BC的中點(diǎn)M，連接AM、EM，如圖1所示：
∵四邊形ABCD是正方形，A（1，5），
∴AD∥BC，AB=BC=CD=AD=4，∠B=∠MCE=∠CDF=90°，
∵DE=3EC，
∴CE=1，BM=CM=2，
∵F為AD的中點(diǎn)，
∴AF=DF=2，
∴$\frac{CE}{DF}=\frac{CM}{CD}$=$\frac{1}{2}$，
∴△CEM∽△DFC，
∴∠CME=∠DCF，
同理：△CEM∽△BMA，
∴$\frac{EM}{MA}=\frac{CM}{AB}$=$\frac{CE}{BM}$=$\frac{1}{2}$，∠CME=∠BAM，
∵∠BAM+∠BMA=90°，
∴∠CME+∠BMA=90°，
∴∠AME=90°，
∵$\frac{EM}{MA}=\frac{CE}{CM}$=$\frac{1}{2}$，
∴△CEM∽△MEA，
∴∠CME=∠MAE，
∴∠MAE=∠DCF，
∵AF∥CM，AF=CM=2，
∴四邊形AMCF是平行四邊形，
∴AM∥CF，
∴∠AGF=∠MAE，
∴∠AGF=∠DCF；
（4）解：設(shè)直線AE的解析式為y=kx+b，
∵A（1，5），E（5，2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{k+b=5}\\{5k+b=2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{4}}\\{b=\frac{23}{4}}\end{array}\right.$，
∴直線AE的解析式為y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{23}{4}$，
同理：直線CF的解析式為y=-2x+11，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{3}{4}x+\frac{23}{4}}\\{y=-2x+11}\end{array}\right.$得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{21}{5}}\\{y=\frac{13}{5}}\end{array}\right.$，
∴G（$\frac{21}{5}$，$\frac{13}{5}$），
過(guò)G作GM∥AD，交雙曲線y=$\frac{5}{x}$于M，如圖2所示：
則M的縱坐標(biāo)為$\frac{13}{5}$，△AFM的面積=△AFG的面積，
∴M的橫坐標(biāo)=5÷$\frac{13}{5}$=$\frac{25}{13}$，
∴M（$\frac{25}{13}$，$\frac{13}{5}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題是反比例函數(shù)綜合題目，考查了反比例函數(shù)解析式的求法、正方形的判定與性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，難度較大．