Question

16．如圖，在矩形OABC中，OA=3，OC=5，分別以OA、OC所在直線為x軸、y軸，建立平面直角坐標系，D是邊CB上的一個動點（不與C、B重合），反比例函數y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的圖象經過點D且與邊BA交于點E，連接DE．
（1）連接OE，若△EOA的面積為3，則k=6；
（2）是否存在點D，使得點B關于DE的對稱點在OC上？若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）連接OE，根據反比例函數k的幾何意義，即可求出k的值．
（2）根據矩形的長和寬及反比例函數y=$\frac{k}{x}$（k＞0）表示D和E的坐標，計算tan∠BDE=tan∠CB′B的值相等，所以計算B′C的長，得出D的坐標．

解答 解：（1）連接OE，如圖1，
∵Rt△AOE的面積為3，
∴k=2×3=6．
故答案為：6；
（2）連接DB′，
設D（$\frac{k}{5}$，5），E（3，$\frac{k}{3}$），
∴BD=3-$\frac{k}{5}$，BE=5-$\frac{k}{3}$，
∴tan∠BDE=$\frac{BE}{BD}$=$\frac{5-\frac{k}{3}}{3-\frac{k}{5}}$=$\frac{5}{3}$，
∵B與B′關于DE對稱，
∴DE是BB′的中垂線，
∴BB′⊥DE，BG=B′G，DB′=BD，
∴∠DGB=90°，
∴∠BDE+∠DBB′=90°，
∠CB′B+∠DBB′=90°，
∴∠BDE=∠CB′B，
∴tan∠BDE=tan∠CB′B=$\frac{5}{3}$=$\frac{BC}{CB′}$=$\frac{3}{CB′}$，
∴CB′=$\frac{9}{5}$，
設CD=x，則BD=B′D=3-x，
則${x}^{2}+（\frac{9}{5}）^{2}=（3-x）^{2}$，
∴x=$\frac{24}{25}$，
∴D（$\frac{24}{25}$，5）．

點評 本題考查了反比例函數k的幾何意義、圖象上點的特征、矩形的性質、特殊的三角函數、軸對稱的性質、線段垂直平分線的性質，第三問中熟練掌握軸對稱的性質和反比例函數點的坐標特征是關鍵．