Question

4．如圖，正方形ABCD的邊長為3，將等腰直角三角板的45°角的頂點(diǎn)放在B處，兩邊與CD及其延長線交于E，F(xiàn)，若CE=1，則BF的長為（　�。�

• A． 2$\sqrt{5}$
• B． 3$\sqrt{5}$
• C． 2$\sqrt{10}$
• D． $\frac{8}{3}$$\sqrt{10}$

Answer 1

分析 如圖將△BCE繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△BAM．BF與AD交于點(diǎn)G．首先證明GE=AG+CE，設(shè)AG=x，在Rt△DGE中，利用勾股定理求出x，再證明BG=FG，求出BG即可解決問題．

解答 解：如圖將△BCE繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△BAM．BF與AD交于點(diǎn)G．

∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=3，∠ABC=90°，
∵∠GBE=45°，
∴∠CBE+∠GBA=∠ABM+∠GBA=45°=∠GBM，
∵BG=BG，∠GBM=∠GBE，BE=BM，
∴△BGM≌△BGE，
∴EG=GM=AM+AG=AG+CE，設(shè)AG=x，則DG=3-x，GE=1+x，
在Rt△DGE中，∵GE²=DG²+DE²，
∴（3-x）²+2²=（x+1）²，
∴x=$\frac{3}{2}$，
∴AG=DG，
易證△AGB≌△DGF，
∴BG=FG=$\sqrt{A{B}^{2}+A{G}^{2}}$=$\frac{3}{2}$$\sqrt{5}$，
∴BF=2BG=3$\sqrt{5}$，
故選B．

點(diǎn)評 本題考查正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用旋轉(zhuǎn)法添加輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考�？碱}型．