Question

12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l：t=-x-1，雙曲線y=$\frac{1}{x}$．在l上取點(diǎn)A₁，過點(diǎn)A₁作x軸的垂線交雙曲線于點(diǎn)B₁，過點(diǎn)B₁作y軸的垂線交l于點(diǎn)A₂，請(qǐng)繼續(xù)操作并探究：過點(diǎn)A₂作x軸的垂線交雙曲線于點(diǎn)B₂，過點(diǎn)B₂作y軸的垂線交l于點(diǎn)A₃，…，這樣依次得到l上的點(diǎn)A₁，A₂，A₃，…，A_n，…．記點(diǎn)A_n的橫坐標(biāo)為a_n，若a₁=2，a₂₀₁₅=-$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 首先根據(jù)a₁=2，求出a₂，a₃，a₄，a₅的值，總結(jié)出其中的規(guī)律：每3個(gè)數(shù)為一個(gè)循環(huán)；然后用2015除以3，根據(jù)商和余數(shù)的情況，判斷出a₂₀₁₅的值是多少即可．

解答 解：解：當(dāng)a₁=2時(shí)，B₁的縱坐標(biāo)為$\frac{1}{2}$，
∵B₁的縱坐標(biāo)和A₂的縱坐標(biāo)相同，
∴A₂的橫坐標(biāo)為a₂=-1-$\frac{1}{2}$=-$\frac{3}{2}$，
∵A₂的橫坐標(biāo)和B₂的橫坐標(biāo)相同，
∴B₂的縱坐標(biāo)為b₂=$\frac{1}{-\frac{3}{2}}$=-$\frac{2}{3}$，
∵B₂的縱坐標(biāo)和A₃的縱坐標(biāo)相同，
∴A₃的橫坐標(biāo)為a₃=-1-（-$\frac{2}{3}$）=-$\frac{1}{3}$，
∵A₃的橫坐標(biāo)和B₃的橫坐標(biāo)相同，
∴B₃的縱坐標(biāo)為b₃=$\frac{1}{-\frac{1}{3}}$=-3，
∵B₃的縱坐標(biāo)和A₄的縱坐標(biāo)相同，
∴A₄的橫坐標(biāo)為a₄=-1-（-3）=2，
∵A₄的橫坐標(biāo)和B₄的橫坐標(biāo)相同，
∴B₄的縱坐標(biāo)為b₄=$\frac{1}{2}$，
∴a₁，a₂，a₃，a₄，…，每3個(gè)數(shù)一個(gè)循環(huán)，分別是2、-$\frac{3}{2}$、-$\frac{1}{3}$，
∵2015÷3=671…2，
∴a₂₀₁₅是第672個(gè)循環(huán)的第2個(gè)數(shù)，
∴a₂₀₁₅=-$\frac{3}{2}$．
故答案為：$-\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①圖象上的點(diǎn)（x，y）的橫縱坐標(biāo)的積是定值k，即xy=k；②雙曲線是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的，兩個(gè)分支上的點(diǎn)也是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；③在圖象中任取一點(diǎn)，過這一個(gè)點(diǎn)向x軸和y軸分別作垂線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積是定值|k|．