Question

18．關(guān)于x的方程kx²+（k+2）x+$\frac{k}{4}$=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
（1）求k的取值范圍；
（2）如果原方程的兩根分別為x₁、x₂，且k²x₁²-4kx₁x₂+k²x₂²的值為12，求k的值．

Answer 1

分析 （1）由二次項(xiàng)系數(shù)非零結(jié)合根的判別式△＞0，即可得出關(guān)于k的一元一次不等式組，解之即可得出k的取值范圍；
（2）由根與系數(shù)的關(guān)系可得出x₁+x₂=-$\frac{k+2}{k}$、x₁•x₂=$\frac{1}{4}$，將其代入k²x₁²-4kx₁•x₂+k²x₂²=k²（x₁+x₂）²-2k²x₁•x₂-4kx₁•x₂=12中可得出關(guān)于k的一元二次方程，解之可得出k的值，再由（1）的結(jié)論可確定k值．

解答 解：（1）∵關(guān)于x的方程kx²+（k+2）x+$\frac{k}{4}$=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k≠0}\\{△=（k+2）^{2}-4×k×\frac{k}{4}＞0}\end{array}\right.$，
解得：k＞-1且k≠0．
∴k的取值范圍為k＞-1且k≠0．
（2）∵原方程的兩根分別為x₁、x₂，
∴x₁+x₂=-$\frac{k+2}{k}$，x₁•x₂=$\frac{1}{4}$．
∵k²x₁²-4kx₁•x₂+k²x₂²=k²（x₁+x₂）²-2k²x₁•x₂-4kx₁•x₂=12，
∴（k+2）²-$\frac{1}{2}$k²-k=12，
解得：k₁=-8，k₂=2．
∵k＞-1且k≠0，
∴k的值為2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及根的判別式，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)非零結(jié)合根的判別式△＞0，列出關(guān)于k的一元一次不等式組；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合k²x₁²-4kx₁x₂+k²x₂²=12，列出關(guān)于k的一元二次方程．