Question

7．如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)A（-3，0），B（1，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，3）．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）拋物線的頂點(diǎn)為M，點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為M′，直線BM′與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)D，求△CBD的面積；
（3）點(diǎn)P為x軸上方的拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交直線BD于點(diǎn)Q，求四邊形APBQ面積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）直接利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式即可；
（2）首先得出M以及M′的坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線BM′的解析式，再求出D點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而利用S_△DBC=S_△CFB+S_△DFB得出答案；
（3）直接利用已知表示出四邊形APBQ面積進(jìn)而得出答案．

解答 解：（1）設(shè)拋物線解析式為：y=ax²+bx+c，將點(diǎn)A（-3，0），B（1，0），C（0，3）分別代入得：
$\left\{\begin{array}{l}{9a-3b+c=0}\\{a+b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
故拋物線解析式為：y=-x²-2x+3；

（2）如圖所示：∵y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，
∴M（-1，4），
∴點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為M′（-1，-4），
設(shè)BM′的解析式為：y=kx+d，
則$\left\{\begin{array}{l}{k+d=0}\\{-k+d=-4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{d=-2}\end{array}\right.$，
故BM′的解析式為：y=2x-2，
將兩函數(shù)解析式聯(lián)立得：
$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}-2x+3}\\{y=2x-2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=1}\\{{y}_{1}=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-5}\\{{y}_{2}=-12}\end{array}\right.$，
即D（-5，-12），
設(shè)直線DC的解析式為：y=ex+g，
則$\left\{\begin{array}{l}{-5e+g=-12}\\{g=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{e=3}\\{g=3}\end{array}\right.$，
故直線DC的解析式為：y=3x+3，
當(dāng)y=0，則x=-1，即直線DC與x軸的交點(diǎn)F（-1，0），
故BF=1+1=2，
則S_△DBC=S_△CFB+S_△DFB=$\frac{1}{2}$×2×3+$\frac{1}{2}$×2×12=15；

（3）如圖所示：設(shè)P（x，-x²-2x+3），則Q（x，2x-2），
四邊形APBQ面積=S_△APB+S_△AQB=$\frac{1}{2}$×AB（-x²-2x+3）+$\frac{1}{2}$×AB×[-（2x-2）]
=2（-x²-2x+3-2x+2）
=-2x²-8x+10
=-2（x+2）²+18，
當(dāng)x=-2時(shí)，S_{四邊形APBQ}最大，此時(shí)-x²-2x+3=3，
即P（-2，3）．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了二次函數(shù)綜合以及二次函數(shù)最值求法、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式等知識(shí)，正確分割圖形求面積是解題關(guān)鍵．