Question

3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax²+bx+c（a，b，c為常數(shù)a≠0）與x軸，y軸分別交于A，B，C三點(diǎn)，已知A（-1，0），B（3，0），C（0，3），動(dòng)點(diǎn)E從拋物線的頂點(diǎn)D出發(fā)沿線段DB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．
（1）直接寫出拋物線解析式和頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）過(guò)點(diǎn)E作EF⊥y軸于點(diǎn)F，交拋物線對(duì)稱軸左側(cè)的部分于點(diǎn)G，交直線BC于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)H作HP⊥x軸于點(diǎn)P，連接PF，求當(dāng)線段PF最短時(shí)G點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿直線x=3向上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E的速度為每秒$\sqrt{5}$個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)Q速度均為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)終點(diǎn)B時(shí)點(diǎn)Q也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，試問(wèn)存在幾個(gè)t值能使△BEQ為等腰三角形？并直接寫出相應(yīng)t值．

Answer 1

分析 （1）直接把A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三點(diǎn)代入拋物線y=ax²+bx+c求得a、b、c得出解析式，進(jìn)一步求得頂點(diǎn)坐標(biāo)即可；
（2）連接OH，則四邊形HPOF是矩形，利用矩形的性質(zhì)和垂線段最短求得答案即可；
（3）可用t分別表示出BE、BQ、EQ的長(zhǎng)，然后分BE=BQ、BE=EQ、BQ=EQ三種情況，列方程求出t的值．

解答 解：（1）由題意得
$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{9a+3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴拋物線y=-x²+2x+3，
頂點(diǎn)D為（1，4）；
（2）如圖，
連接OH，
∵EF⊥y軸，HP⊥x軸，x軸⊥y軸，
∴四邊形HPOF是矩形，
∴PF=OH，
∴當(dāng)OH最短時(shí)，PF最短，
∴OH⊥BC時(shí)，PF最短，
可得H的縱坐標(biāo)為$\frac{3}{2}$，把y=$\frac{3}{2}$代入y=-x²+2x+3，
解得x=$\frac{{2±\sqrt{10}}}{2}$，x=$\frac{{2+\sqrt{10}}}{2}$（舍）
∴G點(diǎn)的坐標(biāo)（$\frac{{2-\sqrt{10}}}{2}$，$\frac{3}{2}$）
（3）存在3個(gè)t值能使△BEQ為等腰三角形，
如圖，
DB=2$\sqrt{5}$，y_BD=-2x+6，設(shè)點(diǎn)E坐標(biāo)為（t+1，4-2t），Q（3，t）
當(dāng)BE=BQ時(shí)，2$\sqrt{5}$-$\sqrt{5}$t=t，
解得  t=$\frac{{5-\sqrt{5}}}{2}$；
當(dāng)BE=EQ時(shí)（2$\sqrt{5}$-$\sqrt{5}$t）²=（t+1-3）²+（4-2t-t）²，解得$t=\frac{8}{5}$，
當(dāng)BQ=EQ時(shí)t²=（t+1-3）²+（4-2t-t）²，解得$t=\frac{10}{9}$，
所以存在3個(gè)t值：t=$\frac{{5-\sqrt{5}}}{2}$．$t=\frac{8}{5}$，$t=\frac{10}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查二次函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，矩形的性質(zhì)，垂線段最短，平面內(nèi)兩點(diǎn)之間的距離等知識(shí)的綜合運(yùn)用，注意分類討論思想的滲透．