Question

11．已知：AB=8，⊙O經(jīng)過點A、B，以AB為一邊畫平行四邊形ABCD，另一邊CD經(jīng)過點O（如圖1），一點B為圓心，BC為半徑畫弧，交線段OC于點E（點E不與點O，點C重合）．
（1）求證：OD=OE；
（2）如果⊙O的半徑長為5（如圖2），設(shè)OD=x，BC=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；
（3）如果⊙O的半徑長為5，聯(lián)結(jié)AC，當(dāng)BE⊥AC時，求OD的長．

Answer 1

分析 （1）如圖1，連接OA，OB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠OAB=∠OBA，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AD=BC，AB∥CD，∠DAB=∠C，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）如圖2，過O作OH⊥AB于H，由垂徑定理得到AH=$\frac{1}{2}$AB=4，連接OA，根據(jù)勾股定理得到OH=$\sqrt{O{A}^{2}-A{H}^{2}}$=3，過D作DG⊥AB于G，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到DG=OH=3，GH=x，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論；
（3）如圖3，過D作DG⊥AB于G，CH⊥AB于H，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BH=AE，由（2）知，OD=x，BC=y，AG=4-x，DG=CH=3，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）如圖1，連接OA，OB，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD=BC，AB∥CD，∠DAB=∠C，
∴∠CEB=∠ABE，
∵BC=BE，
∴AD=BE，
∴∠C=∠BEC，
∴∠DAB=∠ABE，
∴∠DAO=∠EBO，
在△ADO與△BEO中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=BE}\\{∠DAO=∠EBO}\\{AO=BO}\end{array}\right.$，
∴∠ADO≌△BEO，
∴OD=OE；

（2）如圖2，過O作OH⊥AB于H，
∴AH=$\frac{1}{2}$AB=4，
連接OA，
∵OA=5，
∴OH=$\sqrt{O{A}^{2}-A{H}^{2}}$=3，
過D作DG⊥AB于G，
∴四邊形DGHO是矩形，
∴DG=OH=3，GH=x，
∴AG=4-x，
∵AD=BC=y，
∴y²=3²+（4-x）²，
∴y=$\sqrt{{x}^{2}-8x+25}$（0＜x＜4）；

（3）如圖3，過D作DG⊥AB于G，CH⊥AB于H，
在Rt△ADG與Rt△BCH中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=BC}\\{DG=CH}\end{array}\right.$，
∴Rt△ADG≌Rt△BCH，
∴BH=AE，
由（2）知，OD=x，BC=y，AG=4-x，DG=CH=3，
∴BH=4-x，
∴AH=8+4-x=12-x，
∵CD∥AB，
∴CH⊥CD，AC⊥BE，
∴∠ECA+∠HCB=∠ECA+∠CEB=90°，
∴∠BEC=∠ACH，
∴∠DAG=∠ACH，
∴△ADG∽△ACH，
∴$\frac{AG}{CH}=\frac{DG}{AH}$，即$\frac{4-x}{3}$=$\frac{3}{12-x}$，
∴x=3，x=13（不合題意，舍去），
∴DO=3．

點評 本題考查了垂徑定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．