Question

6．如圖，直線y=$\frac{3}{4}$x+3與x軸、y軸分別交于點A、B，動點P從點A出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿AB向終點B運動，同時動點Q從點O出發(fā)，以每秒0.8個單位的速度沿OA向終點A運動，過點Q作直線AB的平行線交y軸于點C，設(shè)運動時間為t（0＜t＜5）秒．
（1）問在運動過程中，四邊形APCQ是何種特殊的四邊形？并證明你的結(jié)論．
（2）當t為何值時，四邊形APCQ是菱形？

Answer 1

分析 （1）用t可表示出Q點的坐標，可求得直線CQ的解析式，則可求得C點坐標，由勾股定理可求得CQ=AP=t，可證得四邊形APCQ為平行四邊形；
（2）由菱形的性質(zhì)可得AP=AQ，可得到關(guān)于t的方程，可求得t的值．

解答 解：
（1）四邊形APCQ是平行四邊形． 
證明如下：
由題意可知AP=t，OQ=0.8t，
∴Q（-0.8t，0），
∵AB∥CQ，
∴可設(shè)直線CQ解析式為y=$\frac{3}{4}$x+b，
把Q點坐標代入可得0=$\frac{3}{4}$×（-0.8t）+b，解得b=0.6t，
∴直線CQ的解析式y(tǒng)=$\frac{3}{4}$x+0.6t，
∴OC=0.6t，
在Rt△COQ中，由勾股定理可得CQ=t=AP，且CQ∥AP，
∴四邊形APCQ是平行四邊形；

（2）由（1）可知OQ=0.8t，且OA=4，
∴AQ=OA-OQ=4-0.8t，
當四邊形APCQ為菱形時，則有AQ=AP，
∴t=4-0.8t，解得t=$\frac{20}{9}$，
即當t的值為$\frac{20}{9}$時，四邊形APCQ為菱形．

點評 本題為一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、平行線的特征、平行四邊形的判定和性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、勾股定理等知識．在（1）中求得CQ的長是解題的關(guān)鍵，注意平行線的特征，在（2）中利用菱形的性質(zhì)得到關(guān)于t的方程是解題的關(guān)鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，但難度不大，較易得分．