Question

12．閱讀：
如圖1，△ABC和△DBE中，AB=CB，DB=EB，∠ABC=∠DBE=90°，D點(diǎn)在AB上，連接AE，DC．求證：AE=CD，AE⊥CD．
證明：延長(zhǎng)CD交AE于點(diǎn)F．∵AB=BC，BE=DB．∴Rt△AEB≌Rt△CDB．
∴AE=CD，∠EAB=∠DCB．∵∠DCB+∠CDB=90°，∠ADF=∠CDB．
∴∠ADF+∠DAF=90°．∴∠AFD=90°．∴AE⊥CD．
類比：
若將圖1中的△DBE繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)銳角，如圖2所示，問(wèn)圖2中的線段AE，CD之間的數(shù)量和位置關(guān)系還成立嗎？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．
拓展：
若將圖1中的△DBE繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)銳角，將“∠ABC=∠DBE=90°”改為“∠ABC=∠DBE=α（α為銳角）”，其他條件均不變，如圖3所示，問(wèn)（直接回答問(wèn)題結(jié)果，不要求寫結(jié)論過(guò)程）：
①圖3中的線段AE，CD是否仍然相等？
②線段AE，CD的位置關(guān)系是否發(fā)生改變？若改變，其所在直線的夾角大小是否隨著圖形的旋轉(zhuǎn)而發(fā)生變化？若不變化，其值多少？

Answer 1

分析 類比：根據(jù)∠DBE=∠ABC=90°，得出∠ABE=∠DBC，再證出△AEB≌△CDB，AE=CD，∠EAB=∠DCB，再根據(jù)∠DCB+∠COB=90°，∠AOF=∠COB，得出∠FOA+∠FAO=90°，∠AFC=90°，即可證出AE⊥CD；
拓展：①根據(jù)∠DBE=∠ABC=α，于是得到∠ABE=∠DBC，推出△AEB≌△CDB，即可得到結(jié)論；
②通過(guò)△AEB≌△CDB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠EAB=∠DCB，由對(duì)頂角相等得到∠AHF=∠CHB，于是得到∠AFH=∠ABC=α．

解答 解：類比：AE=CD，AE⊥CD，
證明：∠DBE=∠ABC=90°，
∴∠ABE=∠DBC，
在△AEB和△CDB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABE=∠DBC}\\{BE=BD}\end{array}\right.$，
∴△AEB≌△CDB，
∴AE=CD，∠EAB=∠DCB，
∵∠DCB+∠COB=90°，∠AOF=∠COB，
∴∠FOA+∠FAO=90°，
∴∠AFC=90°，
∴AE⊥CD；

拓展：①AE=CD，
∵∠DBE=∠ABC=α，
∴∠ABE=∠DBC，
在△AEB和△CDB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABE=∠DBC}\\{BE=BD}\end{array}\right.$，
∴△AEB≌△CDB，
∴AE=CD；
②線段AE，CD的位置關(guān)系發(fā)生改變，其所在直線的夾角大小不隨著圖形的旋轉(zhuǎn)而發(fā)生變化，
∵△AEB≌△CDB，
∴∠EAB=∠DCB，
∵∠AHF=∠CHB，
∴∠AFH=∠ABC=α，
∴線段AE，CD的位置關(guān)系發(fā)生改變，其所在直線的夾角大小不隨著圖形的旋轉(zhuǎn)而發(fā)生變化．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，用到的知識(shí)點(diǎn)全等三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是能在較復(fù)雜的圖形中找出全等的三角形．