Question

11．如圖，已知在正方形ABCD中，點(diǎn)O為對(duì)角線AC的中點(diǎn)，過O點(diǎn)的射線OM、ON分別交AB、BC于點(diǎn)E、F，且∠EOF=90°，BO、EF交于點(diǎn)P，則下面結(jié)論中：
①圖形中全等的三角形只有三對(duì)；②△EOF是等腰直角三角形；
③正方形ABCD的面積等于四邊形OEBF面積的4倍；
④BE+BF=$\sqrt{2}$OA；⑤AE²+BE²=2OP•OB．
正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A． 4個(gè)
• B． 3個(gè)
• C． 2個(gè)
• D． 1個(gè)

Answer 1

分析 由正方形的性質(zhì)和已知條件得出圖形中全等的三角形有四對(duì)，得出①不正確；
由△AOE≌△BOF，得出對(duì)應(yīng)邊相等OE=OF，得出②正確；
由△AOE≌△BOF，得出四邊形OEBF的面積=△ABO的面積=$\frac{1}{4}$正方形ABCD的面積，③正確；
由△BOE≌△COF，得出BE=CF，得出BE+BF=AB=$\sqrt{2}$OA，④正確；
由△AOE≌△BOF，得出AE=BF，得出AE²+CF²=BE²+BF²=EF²=2OF²，再證明△OPF∽△OFB，得出對(duì)應(yīng)邊成比例OP：OF=OF：OB，得出OF²=OP•OB，得出⑤正確．

解答 解：①不正確；
圖形中全等的三角形有四對(duì)：△ABC≌△ADC，△AOB≌△COB，△AOE≌△BOF，△BOE≌△COF；理由如下：
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠D=90°，∠BAO=∠BCO=45°，
在△ABC和△ADC中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}&{\;}\\{BC=DC}&{\;}\\{AC=AC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△ADC（SSS）；
∵點(diǎn)O為對(duì)角線AC的中點(diǎn)，
∴OA=OC，
在△AOB和△COB中，$\left\{\begin{array}{l}{OA=OC}&{\;}\\{AB=CB}&{\;}\\{OB=OB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AOB≌△COB（SSS）；
∵AB=CB，OA=OC，∠ABC=90°，
∴∠AOB=90°，∠OBC=45°，
又∵∠EOF=90°，
∴∠AOE=∠BOF，
在△AOE和△BOF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠OAE=∠OBF=45°}&{\;}\\{OA=OB}&{\;}\\{∠AOE=∠BOF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△BOF（ASA）；
同理：△BOE≌△COF；
②正確；理由如下：
∵△AOE≌△BOF，
∴OE=OF，
∴△EOF是等腰直角三角形；
③正確．理由如下：
∵△AOE≌△BOF，
∴四邊形OEBF的面積=△ABO的面積=$\frac{1}{4}$正方形ABCD的面積；
④正確．理由如下：
∵△BOE≌△COF，
∴BE=CF，
∴BE+BF=CF+BF=BC=AB=$\sqrt{2}$OA；
⑤正確．理由如下：
∵△AOE≌△BOF，
∴AE=BF，
∴AE²+CF²=BE²+BF²=EF²=2OF²，
在△OPF與△OFB中，
∠OBF=∠OFP=45°，
∠POF=∠FOB，
∴△OPF∽△OFB，
∴OP：OF=OF：OB，
∴OF²=OP•OB，
∴AE²+CF²=20P•OB．
正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有4個(gè)；
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題是四邊形綜合題目，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；本題難度較大，綜合性強(qiáng)，需要證明三角形全等和三角形相似才能得出結(jié)論．